x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
x²+x+1 ≥ -3xy²+3y²-9y⁴
x²+x+1 ≥ -3y²(x-1+y²)
y²≥0 за будь-якого значення у
⇒ -3y²≤0
Знайдемо вершину параболи f(x)=x²+x+1
xo= -b/2a = -1/2= -0,5
f(xo)= 0,25-0,5+1=0,75
Вітки параболи напрямлені вгору, адже а>0, отже в такому випадку значення виразу x²+x+1 завжди додатнє (бо функція завжди додатня)
Тоді x²+x+1>0 за будь-якого значення х
1)Якщо у=0, x-будь-яке число, то -3y²=0 ⇒ -3y²(x-1+y²)=0
Як вказано раніше, x²+x+1>0
Будь-яке додатнє число більше нуля, отже й
x²+x+1 > -3y²(x-1+y²) ⇒ x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
2) Якщо х=0, y≠0,
З іншого боку, нерівність можна перетворити на таку:
x²+x+3xy² ≥ 3y²-9y⁴-1
х(x+1+3y²) ≥ 3y²-9y⁴-1
Якщо один із множників--нуль, то і весь вираз дорівнює нулю:
Необхідно довести, що
3y²-9y⁴-1 ≤ 0
-(3y²)²+3y²-1 ≤ 0
y⁴≥0
Заміна: 3y²=n, n>0
-n²+n-1≤ 0
f(n)= -n²+n-1
no= -1/-2 = 1/2= 0,5
f(no)= -0,25+0,5-1 = -0,75
Вітки параболи напрямлені вниз, бо а<0
Отже, -n²+n-1≤ 0 ⇒ 3y²-9y⁴-1≤0
х(x+1+3y²) ≥ 3y²-9y⁴-1 ⇒ x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
3) Якщо х>0, y≠0
x²+x+3xy² ≥ 3y²-9y⁴-1
x²≥0
Як зазначено раніше, 3y²-9y⁴-1<0
Відомо, що x²>0, 3y²>0
Оскільки х--додатнє число, то 3xy²>0
При додаванні додатніх чисел результат теж додатній: x²+x+3xy²>0
Додатнє число завжди більше за від'ємне, тож
x²+x+3xy² > 3y²-9y⁴-1 ⇒ x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
4) Якщо х<0, y≠0
x²+x+3xy² ≥ -9y⁴+3y²-1
Заміна: 3y²=n, n>0
f(x)=x²+x(1+n)
b=1+n
коефіцієнт b не впливає на зміщення по ординаті, а коефіцієнта с в наданій квадратичній функції немає. Також вітки параболи напрямлені вгору, бо а>0.
Таким чином, x²+x(1+n)>0, а -n²+n-1<0, тому x²+x(1+n)>-n²+n-1<0 ⇒ x²+x+3xy² ≥ -9y⁴+3y²-1 ⇒ x²+9y⁴+1 ≥ -3xy²-x+3y²
Нерівність доведено
Відповідь:
Пояснення:
1. Нехай з к виробів лише другий є нестандартним, тоді
р= 0.8×0.2×0.8×0.8×=0.2×0.8^(к-1)
Так як вироби незалежні, то застосовуємо правило множення для незалежних подій
2. Нехай в урні є кулі білого та інших кольорів, тоді група повних подій є
Н1- немає куль білого кольору в урні
Н2- є одна куля білого кольору в урні
Н3- є дві кулі білого кольору в урні
Н4- всі кулі в урні білі
А- витягли білу кулю
Тоді
Р(Н1)=Р(Н2)=Р(Н3)=Р(Н4)=1/4
Р(А/Н1)=1/4
Р(А/Н2)=2/4
Р(А/Н3)=3/4
Р(А/Н4)=4/4
За формулою повної ймовірності
Р(А)= Р(А/Н1)×Р(Н1) + Р(А/Н2)×Р(Н2) + Р(А/Н3)×Р(Н3) + Р(А/Н4)×Р(Н4)=1/4(1/4+2/4+3/4+1)=0.625
3. Ймовірніст порадити купити акції р=0.9
х-кількість брокерів, які порадили купити акції , тоді
Р(х>=4)=С(5,4)р^4×(1-р) + С(5,5)р^5= 5×0.9^4×0.1+0.9^5=0.91854
Объяснение:
Формулы:
1) (a- b)(a + b) = a² - b²
2) a² + 2ab + b² = (a + b)²
3) a² - 2ab + b² = (a - b)²
4) a³ - b³ = (a-b)( a² +ab + b²)
5) a³ + b³ = (a+b)( a² -ab + b²)
(k + 3)(k - 3) = k² -3² = k² -9 (формула 1)
(3k - 1)² = (3k)² -2*3k *1 +1² = 3k² -6k +1 (см.3)
16 - 8k + k² = 4² - 2*4*k +k² = (4 -k)²
25k² - 1 = (5k)² -1² = (5k-1)(5k + 1)
(k + 1)(k² -k +1) = k³ +1 (фор.5)
(7a - 1)² = (7a)² - 2*7a*1 + 1² = 49a² - 14a + 1
(2a + 1)(1 - 2a) = (1 +2a)(1 - 2a) = 1 - 4a²
a² +2*3*a + 3² = (a + 3)²
81a² - 1 = (9a)² -1² = (9a - 1)(9a + 1)
125 + a³ = 5³ + a³ = (5 + a)( 5² -5a + a²) = (5 +a)( 25 - 5a +a²)
(2a - 1)(4a² +2a + 1) = (2a)³ - 1 ³ = 8a³ - 1