Question

Найдите какую-нибудь пару натуральных чисел, которая являет- ся решением уравнения

Answer 1

Найти по одному решению каждого уравнения - не проблема. А вот найти все натуральные решения - это намного более сложная задача.

Простейшие решения в первой задаче (1;1)), во второй (3;2), в третьей (1;1). Дальше можете не смотреть (а можете посмотреть).

1) Преобразуем так: (x²-1)(y²-1)=0; x²-1=0 или y²-1=0; x=1 или y=1.

То есть решения такие: (1;1), (1;2), (1;3), ..., (2;1), (3;1),...

2) Преобразуем так: x²-2y²=1. Это намного более сложная задача - частный случай так называемого уравнения Пелля. Заинтересуетесь - почитайте литературу на эту тему, только сначала попробуйте решить сами. Годится, как я уже писал, пара (3;2), остальные пары получаются из этой по такому правилу: если была пара (x;y), то следующая равна (3x+4y;2x+3y). Поэтому получаем второе решение (3·3+4·2;2·3+3·2)=(17;12). Можете построить сколько угодно решений по такому правилу.

3) Конечно, если m=n, то $m^n=n^m.$ Поэтому мы уже имеем бесконечное множество решений. Но ими множество решений не исчерпывается. По крайней мере $2^4=4^2,$ то есть получили решения (2;4) и (4;2). Докажем, что других решений нет. Преобразуем так: $\sqrt[m]{m}=\sqrt[n]{n}.$

Рассмотрим функцию $f(x)=x^{1/x}.$ (x≥1)

$f'(x)=\frac{1}{x}\cdot x^{(1/x)-1}+x^{1/x}\cdot \ln x\cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)= x^{(1/x)-2}(1-\ln x);\ f(x)=0\Rightarrow x=e.$

Слева от e производная положительна, справа отрицательна, то есть слева от e функция возрастает, справа убывает.

$f(1)=1\sqrt[5]{5}\ldots,$ при этом все эти числа  кроме f(1) больше 1. Поэтому кроме f(2)=f(4) все эти числа разные.

ответ в третьей задаче: (2;4), (4;2), (1;1), (2;2), (3;3),...

прощения, если не все было понятно - в будущем разберетесь))