Question

Может ли выражение x^2-2xy+3y^2-2x-10y+20 принимать отрицательное значение?

Answer 1

Конечно, такую задачу можно решать с производной, но если можно обойтись без нее, лучше так и сделать.

$x^2-2xy+3y^2-2x-10y+20=(x-y)^2-2(x-y)+2y^2-12y+20=$

$=\left((x-y)^2-2(x-y)+1\right)+2(y^2-6y+9)+1=(x-y-1)^2+2(y-3)^2+1\ge 1$ как сумма двух неотрицательных величин и единицы. То есть мы доказали не только то, что это выражение не может принимать отрицательные значения, но и значения, меньшие 1.