Question

с решением уравнений №22 и №23 не могу разобраться каким их решать

Answer 1

22. -2

23. 1

Объяснение:

22. Рассмотрим каждое из подкоренных выражений:

$2x^2+8x+72=2x^2+8x+8+64=2(x^2+4x+4)+64=2(x+2)^2+64\\3x^2+12x+12=3(x^2+4x+4)=3(x+2)^2\\12-4x-x^2=16-4-4x-x^2=16-(x^2+4x+4)=16-(x+2)^2$

Поскольку квадрат какого-либо числа неотрицателен, $(x+2)^2\geq 0$, отсюда:

$2(x+2)^2+64\geq 2\cdot 0+64=64\\3(x+2)^2\geq 3\cdot 0=0\\16-(x+2)^2\leq 16-0=16$

Значит, левая часть $\sqrt[3]{2x^2+8x+72}+\sqrt[3]{3x^2+12x+12}\geq \sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{0}=4$

Правая часть $\sqrt{12-4x-x^2}\leq \sqrt{16}\leq 4$

Левая часть не меньше 4, а правая не больше 4. Значит, равенство достигается тогда и только тогда, когда обе части равны 4. Правая часть равна 4:

$\sqrt{16-(x+2)^2}=4\\16-(x+2)^2=16\\(x+2)^2=0\\x=-2$

Проверим этот корень для левой части:

$\sqrt[3]{2(-2+2)^2+64}+\sqrt[3]{3(-2+2)^2}=\sqrt[3]{64}+\sqrt[3]{0}=4$ — верно.

Уравнение имеет единственный корень x = -2.

23. Заметим, что $(\sqrt{x+8}+\sqrt{x})(\sqrt{x+8}-x)=\sqrt{x+8}^2-\sqrt{x}^2=x+8-x=8$

Значит, $\sqrt{x+8}-\sqrt{x}=\dfrac{8}{\sqrt{x+8}+\sqrt{x}}$ (знаменатель не обращается в ноль, так как x ≥ 0 по ОДЗ, значит, $\sqrt{x+8}+\sqrt{x}\geq \sqrt{0+8}+\sqrt{0}=\sqrt{8}0$).

Пусть $\sqrt{x+8}+\sqrt{x}=t$. Тогда уравнение имеет вид:

$t^3-\left(\dfrac{8}{t}\right)^2=60\\t^3-\dfrac{64}{t^2}-60=0\\\dfrac{t^5-60t^2-64}{t^2}=0|\cdot t^2\neq 0\\t^5-60t^2-64=0$

Заметим, что t = 4 — корень многочлена левой части. Поделив его столбиком на (t - 4), получим его разложение на множители:

$(t-4)(t^4+4t^3+16t^2+4t+16)=0$

Поскольку t > 0, $t^4+4t^3+16t^2+4t+160^4+4\cdot 0^3+16\cdot 0^2+4\cdot 0 +16=160$, значит, обе части можно поделить на второй множитель, так как он не равен нулю. Получаем:

$t-4=0\\t=4\\\sqrt{x+8}+\sqrt{x}=4\\(\sqrt{x+8}+\sqrt{x})^2=4^2\\x+8+2\sqrt{x+8}\sqrt{x}+x=16\\2\sqrt{x^2+8x}=8-2x$

Левая часть неотрицательна, значит, правая часть также неотрицательна: $8-2x\geq 0\Leftrightarrow x\leq 4$

$(2\sqrt{x^2+8x})^2=(8-2x)^2\\4x^2+32x=64-32x+4x^2\\64x=64\\x=1$

Корень удовлетворяет условиям 0 ≤ x ≤ 4, значит, он подходит.