Question

Решите уравнение $\bf\\16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1$

(без использования неравенства Коши)

Answer 1

$16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=(4^{x^2+y})^2+(4^{x+y^2})^2=(4^{x^2+y}-4^{x+y^2})^2+2\cdot 4^{x^2+y+x+y^2}=(4^{x^2+y}-4^{x+y^2})^2+2\cdot 4^{(x+1/2)^2+(y+1/2)^2-1/2}\ge 2\cdot 4^{-1/2}=1,$

причем неравенство превращается в равенство тогда и только тогда, когда $4^{x^2+y}-4^{x+y^2}=0,\ x+1/2=0, y+1/2=0\Leftrightarrow \left \{ {{x=-1/2} \atop {y=-1/2}} \right. .$

ответ: $\left(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\right)$

Answer 2

Объяснение:

$\displaystyle\\16^{x^2+y}+16^{x+y^2}=1(2^4)^{x^2+y}+(2^4)^{x+y^2}=1(2^{2x^2+2y})^2+(2^{2x+2y^2})^2=1a^2+b^2=1a^2+b^2-2ab=1-2ab(a-b)^2=1-2ab(a-b)^2\geq0 ;1-2ab\geq 01-2\cdot2^{2x^2+2y}\cdot2^{2y^2+2x}\geq 02\cdot2^{2x^2+2y}\cdot2^{2y^2+2x}\leq 1log_22^{1+2x^2+2y+2y^2+2x}\leq 01+2x^2+2y+2y^2+2x\leq 02(x^2+x)+2(y^2+y)+1\leq 02\Big(x^2+x+\frac{1}{4}\Big)+2\Big(y^2+y+\frac{1}{4}\Big)+1-1\leq 0 2\Big(x+\frac{1}{2}\Big)^2+2\Big(y+\frac{1}{2}\Big)^2\leq 0$

сумма двух неотрицательных слагаемых ≤ 0

возможно только равенство 0 если каждое слагаемое равно 0

$\Big(x+\dfrac{1}{2}\Big) ^2=0;x+\dfrac{1}{2} =0;x=-\dfrac{1}{2}Big(y+\dfrac{1}{2}\Big) ^2=0;y+\dfrac{1}{2} =0;y=-\dfrac{1}{2}Otvet:\Big(-\dfrac{1}{2};-\dfrac{1}{2}\Big)$