Question

Нйдите точку минимума функции y=(3x^2-36x+36)e^(x-36)

Answer 1

Воспользуемся формулой производной произведения

$\tt y'=(3x^2-36x+36)'\cdot e^{x-36}+(3x^2-36x+36)\cdot (e^{x-36})'=\\ \\ =(6x-36)\cdot e^{x-36}+(3x^2-36x+36)\cdot e^{x-36}=\\ \\ =e^{x-36}\cdot(6x-36+3x^2-36x+36)=(3x^2-30x)e^{x-36}=3x(x-10)e^{x-36}$

$\tt y'=0;~~ 3x(x-10)e^{x-36}=0$

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю

$\tt x_1=0\\ \\ x-10=0~~\Rightarrow~~~ x_2=10$

$\tt e^{x-36}=0$ - уравнение решений не имеет.

___+___(0)____-__(10)___+____

В точке х=10 производная функции меняет знак с (-) на (+), следовательно, точка х=10 - точка минимума

Найдем теперь значение функции в точке х=10, получим

$\tt y(10)=(3\cdot 10^2-36\cdot10+36)e^{10-36}=-24e^{-26}=-\dfrac{24}{e^{26}}$ - наименьшее значение функции.