Question

Почему при решении уравнения 3sqrt(x + 3) - sqrt(x - 2) = 7 появляются посторонние корни (x = 33/16), которые даже в ОДЗ входят? И как эти посторонние корни отсеять без их подстановки в исходное уравнение?

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

Решим уравнение "школьным" :

$3\sqrt{x+3}-\sqrt{x-2}=7\\3\sqrt{x+3}=7+\sqrt{x-2}$

$\left\{\begin{array}{c}9(x+3)=(7+\sqrt{x-2})^2\\x\ge2\end{array}\right;$

Рассмотрим первую строку системы:

$9(x+3)=(7+\sqrt{x-2})^2\\8x-20=14\sqrt{x-2}\\4x-10=7\sqrt{x-2}$

Запись справа от равно неотрицательна ($\ge0$).

Тогда, если слева окажется отрицательное число, корней не будет.

Поэтому равносильным переходом станет:

$\left\{\begin{array}{c}(4x-10)^2=49(x-2)\\x\ge2.5\end{array}\right;$

Рассмотрим первую строку системы:

$16x^2-129x+198=0\\(x-6)(16x-33)=0$

$\left[\begin{array}{c}x=6\\x=\dfrac{33}{16}\end{array}\right;$

Но у нас есть условие, что $x\ge2.5$, откуда $x=\dfrac{33}{16}\approx2.06$ не подходит.

Тогда $x=6$ - это корень уравнения.

Уравнение решено!