1) F '(x)=1/3 - (4x^(-1)) ' = 1/3 + 4x^(-2)=1/3 + 4/x^2. (По-видимому, в условии описка:
f(x) должна равняться 1/3 + 4/x^2). Так как х в знаменателе, х не=0, т.е. на интервале (-беск; 0) F(x) является первообразной для f(x)
2) a) не понятно; б) F(x)=(3sin2x)/2 + C. По условию х=pi/4; y=0 - это F(x). Тогда
(3sin(pi/2))+C=0, 3+C=0, C=-3. Отсюда F(x)=(3sin2x)/2 - 3
3) a) S=интеграл от 1 до 3 (x^3)dx = (x^4)/4 от 1 до 3 = 81/4 - 1/4 =80/4=20
б) найдем пределы интегрирования x^2-3x+4=4-x, x^2-2x=0, x=0; 2
Прямая будет выше параболы на этом отрезке, поэтому
S= интеграл от 0 до 2 (4-x-x^2 +3x-4)dx= интеграл от 0 до 2 (-x^2+2x)dx=
=(-x^3/3 +x^2) от 0 до2 = -8/3 +4 = 1 целая 1/3
Для исследования функции сначала нужно взять производную. Чтобы проще было взять воспользуемся формулой сложения степеней:
Получим что:
Теперь перепишем функцию:
И берем производную:
Дальше найдем точку где производная обращается в 0.
Для этого решаем уравнение:
Это будет точка экстремума. Но точка экстремума может быть как минимумом так и максимумом. Надо показать что это максимум. Как это делается. Есть 2 метода.
1 метод:
Рассмотрим как ведет себя производная при x<9 и при x>9. Очевидно, что при x>9 производная
. Значит функция растет. При x>9, наоборот ![3-\sqrt{x}<0[/tex]. Значит функция убывает. Если до точки х=9 функция растет, а после нее убывает, то получается что это максимум функции</p <p </p <p2 метод:</p <pВозьмем вторую производную от исходной функции получим [tex]y''=-\frac{1}{2\sqrt{x}}](/tpl/images/0065/6514/3770b.png)
. Для любых положительных х, вторая производная будет меньше нуля, т.е y''<0. Это необходимое и достаточное условие, чтобы функция была выпуклой вверх. Т.к. функция выпулкая вверх, то точка экстремума будет точкой максимума. ч.т.д
ответ: точка максимума x=9, значение функции в этой точке y(9)=10