В урне содержится К шаров, среди которых могут быть черные и белые, к ним добавляют L белых шаров. После этого из урны случайным образом вынимают М шаров. Найти вероятность того, что все вынутые шары белые, предполагая, что все возможные предположения о первоначальном содержании урны равновозможны. Значения параметров K, L и М по вариантам приведены в ТАБЛИЦА
Для решения задачи по нахождению вероятности того, что все вынутые шары белые, мы должны использовать формулу условной вероятности.
Для начала, давайте определим вероятность того, что первый шар будет белым. Так как в урне содержится K шаров, среди которых могут быть черные и белые, а к ним добавили L белых шаров, общее количество шаров стало равно K + L. Таким образом, вероятность того, что первый шар будет белым, равна L / (K + L).
Если первый шар оказывается белым, то в урне остается K черных и L - 1 белых шаров. Так как мы уже взяли один белый шар, количество белых шаров станет L - 1. Таким образом, вероятность того, что второй шар также будет белым, равна (L - 1) / (K + L - 1).
По аналогии, если первые M - 1 шаров были белыми, в урне остается K черных и L - (M - 1) белых шаров. Таким образом, вероятность того, что M-ый шар будет белым, равна (L - (M - 1)) / (K + L - (M - 1)).
Теперь мы можем записать вероятность того, что все вынутые шары будут белыми, используя формулу условной вероятности:
P(все шары белые) = P(первый шар белый) * P(второй шар белый | первый шар белый) * ... * P(M-ый шар белый | первые M - 1 шаров белые)
Для начала, давайте определим вероятность того, что первый шар будет белым. Так как в урне содержится K шаров, среди которых могут быть черные и белые, а к ним добавили L белых шаров, общее количество шаров стало равно K + L. Таким образом, вероятность того, что первый шар будет белым, равна L / (K + L).
Если первый шар оказывается белым, то в урне остается K черных и L - 1 белых шаров. Так как мы уже взяли один белый шар, количество белых шаров станет L - 1. Таким образом, вероятность того, что второй шар также будет белым, равна (L - 1) / (K + L - 1).
По аналогии, если первые M - 1 шаров были белыми, в урне остается K черных и L - (M - 1) белых шаров. Таким образом, вероятность того, что M-ый шар будет белым, равна (L - (M - 1)) / (K + L - (M - 1)).
Теперь мы можем записать вероятность того, что все вынутые шары будут белыми, используя формулу условной вероятности:
P(все шары белые) = P(первый шар белый) * P(второй шар белый | первый шар белый) * ... * P(M-ый шар белый | первые M - 1 шаров белые)
То есть,
P(все шары белые) = (L / (K + L)) * ((L - 1) / (K + L - 1)) * ... * ((L - (M - 1)) / (K + L - (M - 1)))
Теперь давайте применим эту формулу к каждому варианту из таблицы.
1) При K = 3, L = 6, M = 2:
P(все шары белые) = (6 / (3 + 6)) * ((6 - 1) / (3 + 6 - 1)) = 6/9 * 5/8 = 5/12
2) При K = 5, L = 4, M = 3:
P(все шары белые) = (4 / (5 + 4)) * ((4 - 1) / (5 + 4 - 1)) * ((4 - (3 - 1)) / (5 + 4 - (3 - 1))) = 4/9 * 3/8 * 3/7 = 9/56
3) При K = 4, L = 5, M = 4:
P(все шары белые) = (5 / (4 + 5)) * ((5 - 1) / (4 + 5 - 1)) * ((5 - (4 - 1)) / (4 + 5 - (4 - 1))) * ((5 - (4 - 1)) / (4 + 5 - (3 - 1))) = 5/9 * 4/8 * 3/7 * 3/6 = 5/84
4) При K = 2, L = 3, M = 2:
P(все шары белые) = (3 / (2 + 3)) * ((3 - 1) / (2 + 3 - 1)) = 3/5 * 2/4 = 3/10
5) При K = 4, L = 1, M = 3:
P(все шары белые) = (1 / (4 + 1)) * ((1 - 1) / (4 + 1 - 1)) * ((1 - (3 - 1)) / (4 + 1 - (3 - 1))) = 1/5 * 0/3 * 0/2 = 0
Таким образом, вероятность того, что все вынутые шары белые, в каждом из вариантов равна:
1) 5/12
2) 9/56
3) 5/84
4) 3/10
5) 0