Question

Построить график функции: $y = {x}^{4} + 4x^{3}$
P.s Полностью исследовать График функции.

Answer 1

Объяснение:

у = х⁴ + 4х³

1. ОДЗ: х∈R

2.Четность, нечетность.

у(-х) = (-х)⁴ + 4(-х)³=х⁴-4х³

у(-х) ≠ у(х) ≠ -у(х) ⇒ функция не является четной или нечетной, то есть - общего вида.

3. Пересечение с осями.

х=0 ⇒ у=0

у=0 ⇒ х⁴ + 4х³ = 0; х³(х + 4) = 0 ⇒ х = 0; х = -4.

4. Функция непрерывна, асимптот нет.

5. Возрастание, убывание, экстремумы.

Найдем производную, приравняем к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знак производной на промежутках. Если "+" - функция возрастает, "-" - убывает.

y' = 4x³ + 4·3x² = 4x³ + 12x² = 4x²(x + 3)

y'=0 ⇒ 4x²(x+3) = 0

x = 0; x = -3

См. рис.

Функция убывает при х∈(-∞; -3];

возрастает при х∈[-3; +∞)

В точке х = -3 производная меняет знак с "-" на "+" ⇒

х (min) = -3

y (-3) = 81-108 = -27

6. Выпуклость, вогнутость.

Найдем производную второго порядка, приравняем к нулю, найдем корни и отметим их на числовой оси. Определим знак второй производной на промежутках. Если "+" - функция вогнутая, "-" - выпуклая.

y'' = 4·3x²+12·2x = 12x² +24x =12x(x+2)

y''=0 ⇒ x=0; x=-2

См. рис.

Функция вогнута при х∈(-∞; -2]∪[0; +∞)

выпукла при x∈[-2; 0]

х=-2 и х=0 - точки перегиба.

у(-2)=16-32 = -16;   у(0) = 0

Строим график.