Question

Используя метод введения вспомагательного аргумента, покажите что уравнение √3sinx+cosx=√2

Answer 1

$\displaystyle \sqrt3\, sinx+cosx=\sqrt2\ |:2\\\\\frac{\sqrt3}{2}\, sinx+\frac{1}{2}\, cosx=\frac{\sqrt2}{2}\\\\\\cos\frac{\pi}{6}\cdot sinx+sin\frac{\pi}{6}\, cosx=\frac{\sqrt2}{2}\\\\\\sin\Big(x+\frac{\pi}{6}\Big)=\frac{\sqrt2}{2}\\\\\\x+\frac{\pi} {6}=(-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\\\\\\x=-\frac{\pi} {6}+(-1)^{n}\cdot \frac{\pi}{4}+\pi n\ ,\ n\in Z\ \ -\ \ otvet$

$ili\ \ \ \ \left[\begin{array}{l}\ x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{4}+\pi n\ ,\\x+\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{3\pi }{4}+\pi k\ ,\ k\in Z\end{array}\right\ \ \ \left[\begin{array}{l}x=\dfrac{\pi}{12}+\pi n\ ,\\\ \ \ x=\dfrac{7\pi}{12}+\pi k\ ,\ k\in Z\end{array}\right$