Question

Сумма 50 натуральных чисел равна 2950 . Все эти числа разбили на три группы. Известно, что:

- в первой группе 43 чисел, их среднее арифметическое равно 18

- среднее арифметическое чисел второй группы равно 59

- среднее арифметическое чисел третьей группы - целое число.

Найдите количество чисел в третьей группе
надо(

Answer 1

Найдем сумму чисел в первой группе:

$43\cdot18=774$

Найдем сумму чисел во второй и третьей группе:

$2950-774=2176$

Заметим, что во второй и третьей группе вместе чисел было:

$50-43=7$

Введем обозначения. Пусть во второй группе было $m$ чисел, а в третьей группе было $n$ чисел. Среднее арифметическое чисел второй группы по условие равно 59, а среднее арифметическое чисел третьей группы обозначим как $y$.

В этих обозначениях нам нужно найти $n$.

Можем записать два равенства:

$\begin{cases} m+n=7 \\ 59m+ny=2176 \end{cases}$

Из первого равенства выразим $m$:

$m=7-n$

Подставим во второе равенство:

$59(7-n)+ny=2176$

$413-59n+ny=2176$

$ny-59n=2176-413$

$(y-59)n=1763$

$n=\dfrac{1763}{y-59}$

$n=\dfrac{41\cdot 43}{y-59}$

Так как $n$ - количество чисел, то это число должно быть целым (как минимум, неотрицательным). Также, по с условию $y\in\mathbb{Z}$. Значит, число $(y-59)$ является делителем числа $41\cdot43$. Тогда есть 4 варианта:

$y-59=1\Rightarrow n=41\cdot43$

$y-59=41\Rightarrow n=43$

$y-59=43\Rightarrow n=41$

$y-59=41\cdot43\Rightarrow n=1$

Однако, не все эти 4 варианта реализуемы. Вспомним, что количество чисел третьей группы связано с количеством чисел второй группы соотношением:

$m=7-n$

Так как $m0$, то:

$7-n0$

$n$

Такому условию удовлетворяет только вариант $n=1$.

ответ: 1