Question

Найти проекцию вектора на ось OY, если его длина равна 8 и он образует с осью OX угол π/4, с осью OZ угол π/3 , а с осью OY – острый угол.

Answer 1

Для нахождения проекции вектора на ось OY, нам необходимо знать его направляющие косинусы относительно осей OX, OY и OZ.

В данном случае, у нас есть информация о трех углах, которые вектор образует с осями OX, OY и OZ. Напомню, что направляющий косинус вектора относительно конкретной оси равен косинусу угла, образованного вектором с данной осью.

Итак, у нас даны следующие углы:
Угол между вектором и осью OX: π/4
Угол между вектором и осью OZ: π/3
Угол между вектором и осью OY: острый угол (не указан)

Первым шагом распишем вектор AB в компонентной форме, где A - начало вектора, а B - его конец:

AB = (x, y, z)

Дано, что длина вектора равна 8:

|AB| = √(x^2 + y^2 + z^2) = 8

Также, по определению направляющих косинусов:

cos(π/4) = x / 8
cos(π/3) = z / 8

Теперь воспользуемся фактом, что сумма квадратов направляющих косинусов равна 1:

cos^2(π/4) + cos^2(π/3) + cos^2(угол между вектором и осью OY) = 1

а из суммы тригонометрических квадратов:

(√2/2)^2 + (√3/2)^2 + cos^2(угол между вектором и осью OY) = 1

1/2 + 3/4 + cos^2(угол между вектором и осью OY) = 1

5/4 + cos^2(угол между вектором и осью OY) = 1

cos^2(угол между вектором и осью OY) = 1 - 5/4

cos^2(угол между вектором и осью OY) = 1/4

cos(угол между вектором и осью OY) = ±√(1/4)

cos(угол между вектором и осью OY) = ±1/2

Так как угол между вектором и осью OY острый, cos(угол между вектором и осью OY) = 1/2

Итак, направляющий косинус вектора относительно оси OY равен 1/2.

Теперь, чтобы найти проекцию вектора на ось OY, нам нужно умножить длину вектора на направляющий косинус, относительно оси OY:

проекция_AB_на_OY = |AB| * cos(угол между вектором и осью OY)
= 8 * 1/2
= 4

Итак, проекция вектора AB на ось OY равна 4.