[x]² - x*[x] + 3 ≤ 0
наименьшее положительное решение найти
x > 0
заметим что любое положительное целое значение х не решение, так как [x]² - x*[x] = 0 и 3 > 0
Немного пугает квадрат первого члена и хочется решить квадратное уравнение, но это не так. Так как [x] и [x]² это целые числа, а не переменные и у нас линейная зависимоть
[x] <= x
x = [x] + {x} целая и дробная части
0 ≤ {x} < 1
теперь будем оценивать неравенство
[x]² - x*[x] + 3 ≤ 0
[x]² + 3 ≤ x*[x]
([x]² + 3)/[x] ≤ x
имеем право [x] = 0 когда 0≤ x < 1 тогда [x]² - x*[x] = 0 и 3 > 0 не корень
[x] + 3/[x] ≤ x
x - [x] ≥ 3/[x]
{x} ≥ 3/[x]
0 ≤ {x} < 1 значит 3/[x] < 1 [x} ≥ 4 но минимум [х] = 4 то есть 4 < x < 5
{x} ≥ 3/4
{x} = 3/4 минимум
x = [x] + {x} = 4 + 3/4 = 4 3/4 = 4.75
проверяем
[4.75]² - 4.75*[4,75] + 3 = 16 - 19 + 3 = 0 ≤ 0 да
для надежности проверим два ближайших числа 4,74 и 4.76
[4.74]² - 4.74*[4,74] + 3 = 16 - 18.96 + 3 = 0.04 > 0
[4.76]² - 4.76*[4,76] + 3 = 16 - 19.04 + 3 = -0.04 < 0
ответ 4.75
Найдем точки экстремума данной функции и узнаем значения этой функции в точках экстремума, в случае, если они принадлежат отрезку [-2;1], а также на границах этого отрезка.
Для того, чтобы найти точки экстремума данной функции, найдем производную этой функции, а затем найдем те значения х, при которых производная обращается в 0. Это и будут возможные точки экстремума.
Находим производную функции f(x) = x^4 - 2x^2.
f'(x) = 4x^3 - 2*2*x = 4x^3 - 4x.
Найдем значения х, при которых производная равна 0:
4x^3 - 4x = 0;
x^3 - x = 0;
x*(x^2 - 1) = 0;
x*(x - 1)(x + 1) = 0;
Производная обращается в ноль в точках х = -1, х = 0 и х = 1.
Точки х = -1 и х = 0 лежат внутри отрезка [-2;1], а точка х = 1 является правой границей данного отрезка. Вычислим значения функции в точках х = -2, х = -1, х = 0 и х = 1.
f(-2) = (-2)^4 - 2*(-2)^2 = 16 - 8 = 8;
f(-1) = (-1)^4 - 2*(-1)^2 = 1 - 2 = -1;
f(0) = 0^4 - 2*0^2 = 0;
f(1) = 1^4 - 2*1^2 = 1 - 2 = -1.
Таким образом, f(x) = x^4 - 2x^2 на отрезке [-2;1] наименьшее значение принимает в точках х = -1 и х = 1 и это наименьшее значение равно -1, а наибольшее значение данная функция принимает в точке х = -2 и это наибольшее значение равно 8.
В решении.
Объяснение:
Построить графики функций и найти её область определения.
Область определения - это проекция графика функции на ось Ох, это значения х, при которых функция существует.
Обозначается как D(f) или D(у).
1) у = х;
Таблица:
х -1 0 1
у -1 0 1
График - прямая линия, проходящая через начало координат, ничем не ограничена, х может быть любым.
D(у) = х∈R;
2) у = -х;
Таблица:
х -1 0 1
у 1 0 -1
График - прямая линия, проходящая через начало координат, ничем не ограничена, х может быть любым.
D(у) = х∈R;
3) у = х²
График - классическая парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вверх.
Таблица:
х -3 -2 -1 0 1 2 3
у 9 4 1 0 1 4 9
Область определения параболы - множество всех действительных чисел, потому что она проецируется на любую точку оси Ох.
D(у) = х∈R;
4) у = -х²
График - классическая парабола с вершиной в начале координат, ветви направлены вниз.
Таблица:
х -3 -2 -1 0 1 2 3
у -9 -4 -1 0 -1 -4 -9
Область определения параболы - множество всех действительных чисел, потому что она проецируется на любую точку оси Ох.
D(у) = х∈R;
5) у = 1/х
График - гипербола, расположена в 1 и 3 координатных четвертях.
Таблица:
х -10 -5 -1 0 1 5 10
у -0,1 -0,2 -1 - 1 0,2 0,1
Область определения - множество всех действительных чисел, кроме х = 0 (на ноль делить нельзя).
D(у) = х∈R : х ≠ 0;
6) у = -1/х
График - гипербола, расположена во 2 и 4 координатных четвертях.
Таблица:
х -10 -5 -1 0 1 5 10
у 0,1 0,2 1 - -1 -0,2 -0,1
Область определения - множество всех действительных чисел, кроме х = 0 (на ноль делить нельзя).
D(у) = х∈R : х ≠ 0;
7) у = √х
Графиком функции y=√x является ветвь параболы.
Таблица:
х 0 1 4 9
у 0 1 2 3
Область определения - множество всех действительных чисел, только х больше либо равен нулю.
D(у) = х∈R : х >= 0;
8) у = -√х
Графиком функции y = -√x является ветвь параболы.
Таблица:
х 0 1 4 9
у 0 -1 -2 -3
Область определения - множество всех действительных чисел, только х больше либо равен нулю.
D(у) = х∈R : х >= 0;