Question

Найдите наибольшее и наименьшее значение функции:
у = 2х3 -3х2 -12х + 24 на отрезке [-2;1].

Answer 1

Для того, чтобы найти наибольшее и наименьшее значение функции, необходимо проанализировать ее поведение на отрезке [-2;1].

Шаг 1: Найдем значения функции на концах отрезка.
Вычислим значение функции в точке x=-2:
у(-2) = 2(-2)^3 - 3(-2)^2 - 12(-2) + 24
= 2(-8) - 3(4) + 24
= -16 - 12 + 24
= -4

Вычислим значение функции в точке x=1:
у(1) = 2(1)^3 - 3(1)^2 - 12(1) + 24
= 2(1) - 3(1) - 12 + 24
= 2 - 3 - 12 + 24
= 11

Шаг 2: Проанализируем поведение функции на отрезке.
Используя методом анализа знаков производной, найдем экстремумы функции.

Вычислим производную функции:
у' = 6х2 - 6х - 12

Решим уравнение у' = 0:
6х2 - 6х - 12 = 0

Мы можем использовать метод дискриминанта для определения существования корней, а затем решить уравнение.

Дискриминант D = (-6)^2 - 4(6)(-12)
= 36 + 288
= 324

Так как D > 0, у нас есть два корня:

х1 = (-(-6) + √(324))/(2(6)) = (6 + 18)/(12) = 24/12 = 2
х2 = (-(-6) - √(324))/(2(6)) = (6 - 18)/(12) = -12/12 = -1

Мы получили два значения х, при которых функция может иметь экстремум.

Шаг 3: Оценим значения функции в найденных значениях х и на концах отрезка.
Вычислим значения функции в точке x=-1:
у(-1) = 2(-1)^3 - 3(-1)^2 - 12(-1) + 24
= 2(-1) - 3(1) + 12 + 24
= -2 - 3 + 12 + 24
= 31

Вычислим значения функции в точке x=2:
у(2) = 2(2)^3 - 3(2)^2 - 12(2) + 24
= 2(8) - 3(4) - 24 + 24
= 16 - 12 - 24 + 24
= 4

Шаг 4: Сравним найденные значения функции.
На основании проведенного анализа, мы можем сделать следующие выводы:
- Наименьшее значение функции равно -4 и достигается на точке x=-2.
- Наибольшее значение функции равно 31 и достигается на точке x=-1.

Таким образом, наибольшее значение функции у на отрезке [-2;1] равно 31, а наименьшее значение равно -4.