Question

Даны координаты вершин пирамиды ABCD : A(−3;− 6;2), B(1;− 2;0), C(−1;5;−8), D(−3;− 4;3).
Необходимо:
1. Записать векторы
AB,

AC ,
AD в ортонормальной системе
{i j k}    , , и найти модули этих векторов.
2. Найти угол между векторами AB и AC .
3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB.
4. Вычислить площадь грани ABC .
5. Найти объем пирамиды ABCD .

Answer 1

1. Записать векторы AB, AC, AD в ортонормальной системе {i j k}, и найти модули этих векторов.

Для записи векторов в ортонормальной системе {i j k} нужно вычислить разность координат между соответствующими вершинами пирамиды.

AB = B - A = (1 - (-3), -2 - (-6), 0 - 2) = (4, 4, -2)
AC = C - A = (-1 - (-3), 5 - (-6), -8 - 2) = (2, 11, -10)
AD = D - A = (-3 - (-3), -4 - (-6), 3 - 2) = (0, 2, 1)

Для нахождения модуля векторов используется формула: |v| = √(x^2 + y^2 + z^2), где (x, y, z) - координаты вектора.

|AB| = √(4^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6
|AC| = √(2^2 + 11^2 + (-10)^2) = √(4 + 121 + 100) = √225 = 15
|AD| = √(0^2 + 2^2 + 1^2) = √(0 + 4 + 1) = √5

2. Найти угол между векторами AB и AC.

Угол между векторами можно найти с помощью скалярного произведения и формулы: cos(θ) = (AB * AC) / (|AB| * |AC|), где (AB * AC) - скалярное произведение векторов, |AB| и |AC| - модули векторов.

AB * AC = (4 * 2) + (4 * 11) + (-2 * -10) = 8 + 44 + 20 = 72

cos(θ) = 72 / (6 * 15) = 72 / 90 = 0.8

Зная cos(θ), можно найти угол θ с помощью обратной функции cos: θ = arccos(0.8) ≈ 37.6°

3. Найти проекцию вектора AD на вектор AB.

Проекцию вектора AD на вектор AB можно найти с помощью формулы: proj_ab(ad) = (ad * ab) / |ab|, где (ad * ab) - скалярное произведение векторов, |ab| - модуль вектора AB.

AD * AB = (0 * 4) + (2 * 4) + (1 * -2) = 0 + 8 - 2 = 6

proj_ab(ad) = 6 / 6 = 1

Таким образом, проекция вектора AD на вектор AB равна вектору AB.

4. Вычислить площадь грани ABC.

Площадь грани ABC можно найти с помощью формулы площади треугольника по координатам вершин. Для этого нужно найти векторное произведение векторов AB и AC, а затем вычислить половину модуля этого вектора.

AB x AC = (4 * 11 - (-2) * 2, (-2) * 2 - 4 * (-10), 4 * 2 - 4 * 11) = (64, 16, -40)

Площадь грани ABC = 0.5 * |AB x AC| = 0.5 * √(64^2 + 16^2 + (-40)^2) = 0.5 * √(4096 + 256 + 1600) = 0.5 * √5952 = 36

Таким образом, площадь грани ABC равна 36.

5. Найти объем пирамиды ABCD.

Объем пирамиды можно найти с помощью формулы: V = (1/6) * |AB * (AC x AD)|, где (AC x AD) - векторное произведение векторов AC и AD.

AC x AD = (2 * 2 - 1 * 0, 2 * 3 - 0 * (-2), 2 * (-4) - 0 * 2) = (4, 6, -8)

V = (1/6) * |AB * (AC x AD)| = (1/6) * |(4, 4, -2) * (4, 6, -8)| = (1/6) * √((4 * 4)^2 + (4 * 6)^2 + (-2 * -8)^2) = (1/6) * √(256 + 576 + 32) = (1/6) * √864 = 18

Таким образом, объем пирамиды ABCD равен 18.