Чертеж во вложении.
Пирамида МАБСД. МО=3 -высота, МВ=МА=МС=МД=3√5.
О₁ - центр вписанной сферы.
АВСД - квадрат, О-центр вписанной и описанной окружностей.
∆ВМО-прямоугольный. По теореме Пифагора
∆ВОA-прямоугольный, ОВ=ОА. По теореме Пифагора
Тогда ОР=1/2АВ=3√2.
В прямоугольном ∆МОР по теореме Пифагора
О₁ - центр вписанной сферы, является центром вписанной в ∆ТМР окружности. Для этой окружности и для сферы r=ОО₁.
Тогда О₁ - точка пересечения биссектрис ∆ТМР.
Рассмотрим прямоугольный ∆МОР. РО₁-биссектриса. МО₁=МО-ОО₁=3-r.
По свойству биссектрисы треугольника
Площадь сферы:
Обозначим момент первой встречи автомобилей t1, а второй t2, а скорости соответственно v1 и v2
В первую встречу первый автомобиль км, а второй АВ-24, значит вместе они расстояние АВ за t1
Во вторую встречу первый автомобиль АВ+15, а второй АВ+АВ-15, значит вместе они АВ
t1(v1+v2)=AB
t2(v1+v2)=3AB
Отсюда
t2=3t1
Первый автомобиль к моменту первой встречи проехал 24 км, а ко второй 24*3=72 км, при этом рассояние, что он проехал было равно АВ+15.
АВ+15=72
АВ=72-15=57
Проверим решение посчитав путь второго автомобиля.
Второй автомобиль за время t1 проехал 57-24=33 км, а за время t2 : 33*3=99, при этом проехав путь АВ+АВ-15 или 57+57-15=99
Задача решена верно.
ответ: расстояние между городами 57