При каких значениях параметра "a" уравнение x^2-(a+4)x+2a+6 =0 имеет один корень на луче [1;∞) .
Обозначаем : t = x -1 ⇒ x = t+1 получаем: (t+1)² -(a+4)(t+1) +2a+6 =0 ⇔ t² -(a+2)t +a+3 =0 , x ≥ 1 ⇒ t ≥ 0. Один корень должен быть неотрицательным. t =0 ⇒ a = - 3 . Уравнение t² -(a+2)t +a+3 =0 [следовательно и x² - (a+4)x+2a+6 =0 ] имеет корней, если D=(a+2)² - 4(a+3) ≥ 0⇔ a² -8 ≥ 0 ⇒ a ∈( -∞ ; - 2√2] ∪ [2√2 ;∞) .
Один (однократный) корень, если a =± 2√2 При a = - 2√2 ⇒ t=(a+2)/2 = - √2+1 < 0 не удовлетворяет ; При a = 2√2 ⇒ t = (a+2)/2 = √2+1 > 0_ удовлетворяет .
Корни разных знаков : { D > 0 ; a+3 < 0. ⇔ { a ∈( -∞ ; - 2√2) ∪ (2√2 ;∞) ; a < - 3. ⇒ a ∈( -∞ ; - 3).
Для решения нужно знать некоторые теоремы: 1) любая высота в равностороннем треугольнике является биссектрисой и медианой этого треугольника, а также серединным перпендикуляром к соответствующей стороне этого треугольника. 2) теорема Пифагора. 3) медианы любого треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1 считая от вершины. Пусть сторона данного треугольника a=(V3). Проведем какую-либо высоту в данном треугольнике, эта высота является медианой, поэтому делит сторону, к которой проведена пополам. Рассмотрим один из двух прямоугольных треугольников, на которые делится исходных равносторонний треугольник проведенной высотой. Гипотенуза прямоугольного треугольника = a, один из катетов = (a/2). Найдем второй катет, который является высотой исходного треугольника. По т. Пифагора: a^2 = (a/2)^2 + h^2; h^2 = a^2 - (a/2)^2 = a^2 - (a^2/4) = (3/4)*(a^2). h = a*(V3)/2, Центр описанной окружности - это точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам данного треугольника. Но в равностороннем треугольнике все серединные перпендикуляры являются медианами (а также биссектрисами и высотами) этого треугольника. Поэтому длина h это длина медианы, а искомый радиус (в соответствии с теоремой 3) ) будет равен (2/3) от h. Т.е. R = (2/3)*h = (2/3)*a*(V3)/2 = (2/3)*(V3)*(V3)/2 = 1.
