Question

Решить уравнение
3/sin(x) - 2/cos(x) = sqrt(52).
с решением.

Answer 1

$\dfrac{1}{3}\cdot arcsin \dfrac{3}{\sqrt{13} } +\dfrac{2\pi n}{3} , ~n\in\mathbb {Z};\\\\\pi -arcsin \dfrac{3}{\sqrt{13} } +2\pi k,~k\in\mathbb {Z}\\$

Объяснение:

$\dfrac{3}{sinx} -\dfrac{2}{cosx} =\sqrt{52} |\cdot sinx\cdot cosx\neq 0;\\\\3cosx-2sinx=\sqrt{4\cdot13} sinx\cdot cosx |:\sqrt{3^{2}+(-2)^{2} } =\sqrt{9+4} =\sqrt{13} ;\\\dfrac{3}{\sqrt{13} } \cdot cosx - \dfrac{2}{\sqrt{13} } =2sinx\cdot cosx.$

Пусть $\dfrac{3}{\sqrt{13} } = sin\alpha , \dfrac{2}{\sqrt{13} } =cos \alpha$

Тогда

$sin \alpha \cdot cosx-cos \alpha \cdot sin x=2sinxcosx$

Воспользуемся формулами

$sin \alpha \cdot cos\beta -cos \alpha \cdot sin \beta =sin(\alpha -\beta );\\sin 2x=2sinxcosx.$

Тогда уравнение принимает вид:

$sin (\alpha -x) =sin2x;\\-sin(x-\alpha )-sin2x=0|:(-1) \\sin(x-\alpha )+sin2x=0;\\2sin \dfrac{x-\alpha +2x}{2} \cdot cos \dfrac{x-\alpha -2x}{2}=0;\\\\2sin \dfrac{3x-\alpha }{2} \cdot cos \dfrac{-x-\alpha }{2}=0;\\\\2sin \dfrac{3x-\alpha }{2} \cdot cos \dfrac{x+\alpha }{2}=0;\\$

$1) sin \dfrac{3x-\alpha }{2} =0;\\\\\dfrac{3x-\alpha }{2} =\pi n, ~n\in\mathbb {Z}\\3x-\alpha =2\pi n, ~n\in\mathbb {Z};\\3x=\alpha +2\pi n, ~n\in\mathbb {Z};\\\\x=\dfrac{1}{3}\cdot \alpha +\dfrac{2\pi n}{3} , ~n\in\mathbb {Z};\\$

$2) cos \dfrac{x+\alpha }{2} =0;\\\dfrac{x+\alpha }{2}=\dfrac{\pi }{2} +\pi k,~k\in\mathbb {Z}\\x+\alpha =\pi +2\pi k,~k\in\mathbb {Z}\\\\x =\pi -\alpha +2\pi k,~k\in\mathbb {Z}\\$

Найдем α из одного из условий

$\dfrac{3}{\sqrt{13} } = sin\alpha \Rightarrow \alpha =arcsin \dfrac{3}{\sqrt{13} } \dfrac{2}{\sqrt{13} } =cos \alpha \Rightarrow \alpha =arccos \dfrac{2}{\sqrt{13} }$

Тогда получим

$x=\dfrac{1}{3}\cdot arcsin \dfrac{3}{\sqrt{13} } +\dfrac{2\pi n}{3} , ~n\in\mathbb {Z};\\$

$x =\pi -arcsin \dfrac{3}{\sqrt{13} } +2\pi k,~k\in\mathbb {Z}\\$