Простыми преобразованиями эту задачу не решить, будем использовать арифметику остатков.
1-ое свойство, которое понадобится
То есть мы спокойно можем заменить каждое слагаемое сравнимым с ним по модулю m. То есть каждое слагаемое в нашей сумме будем рассматривать отдельно.
2-ое свойство, которое нам понадобится:
То есть довольно аналогичная вещь в произведении
На нашем примере все увидим
Находим остатки по модулю 31
Рассматриваем первое слагаемое. Просто двойка не годится, нам нужно найти ближайшее к 31 число, превосходящее его (иногда там в отрицательные числа залезаем, например, 
, но сейчас это не нужно), нам повезло, это 32
Учитываем, что 
, получаем
То есть остаток от деления первого слагаемое на 31 получился равным 10. Прекрасно, аналогично со вторым
Остаток 21, чудесно. Выполняем последний шаг.
То есть остаток от деления исходного числа на 31 равен 0, следовательно, исходное число делится на 31, что и требовалось доказать.
ax² + bx + c = 0 - квадратное уравнение (a ≠ 0), называется неполным, если b = 0, или c = 0, или оба сразу (b = 0 и c = 0). Разберем все эти случаи.
1) b = 0 и c ≠ 0
ax² + c = 0
ax² = -c
x² = -c / a
x² ≥ 0, поэтому для того, чтобы уравнение не имело корней достаточно -c / a < 0; c / a > 0 - получили ответ на первый вопрос
2) b ≠ 0; c = 0
ax² + bx = 0
x·(ax + b) = 0
x₁ = 0; x₂ = -b / a
То есть корни будут всегда, и мы получили ответ на второй вопрос задачи:
(при b ≠ 0; c = 0; Уравнение ax² + bx = 0 имеет 2 корня, один из которых 0)
3) b = 0 и c = 0
ax² = 0
x = 0, то есть всегда корнем будет 0
Объяснение: