с дано и решением
1. В билете 2 задачи. Вероятность правильного решения первой задачи- 0,9, а второй- 0,65. Случайная величина X- число правильно решенных задач в билете. Составить закон распределения, вычислить математическое ожидание, дисперсию и среднее математическое отклонение этой случайной величины.
Для решения этой задачи, нам необходимо составить закон распределения случайной величины X. В данном случае, значение случайной величины X может быть 0, 1 или 2, так как это количество правильно решенных задач в билете.
Вероятность правильного решения первой задачи равна 0,9, а вероятность правильного решения второй задачи равна 0,65. Для того чтобы найти вероятность случайной величины X, мы должны учесть все возможные комбинации решения задач.
Для X=0, оба задания должны быть неправильно решены. Вероятность неправильного решения задачи равна 1 - вероятность правильного решения задачи. Таким образом, вероятность случайной величины X=0 можно рассчитать следующим образом:
P(X=0) = (1-0,9) * (1-0,65) = 0,1 * 0,35 = 0,035.
Для X=1, решена должна быть только одна задача. Это может быть первая задача или вторая задача. Вероятность решения только первой задачи равна 0,9 * (1-0,65) = 0,9 * 0,35 = 0,315. Вероятность решения только второй задачи равна (1-0,9) * 0,65 = 0,1 * 0,65 = 0,065. Чтобы найти вероятность случайной величины X=1, мы должны сложить эти две вероятности:
P(X=1) = 0,315 + 0,065 = 0,38.
Для X=2, обе задачи должны быть правильно решены. Вероятность решения обеих задач равна 0,9 * 0,65 = 0,585. Таким образом, вероятность случайной величины X=2 равна:
P(X=2) = 0,585.
Теперь, когда у нас есть закон распределения случайной величины X, мы можем перейти к вычислению математического ожидания, дисперсии и среднего математического отклонения.
Математическое ожидание (M) случайной величины X можно найти, умножая значения X на соответствующие им вероятности и складывая полученные произведения.
M = 0 * P(X=0) + 1 * P(X=1) + 2 * P(X=2) = 0 * 0,035 + 1 * 0,38 + 2 * 0,585 = 0 + 0,38 + 1,17 = 1,55.
Теперь рассчитаем дисперсию (D) случайной величины X. Для этого мы умножим каждую разность между значением X и математическим ожиданием в квадрате на соответствующую вероятность, а затем сложим все полученные произведения.
D = (0-1,55)^2 * 0,035 + (1-1,55)^2 * 0,38 + (2-1,55)^2 * 0,585 = 1,55^2 * 0,035 + (-0,55)^2 * 0,38 + 0,45^2 * 0,585 = 2,4025 * 0,035 + 0,3025 * 0,38 + 0,2025 * 0,585 = 0,0840875 + 0,114925 + 0,118418125 = 0,317430625.
Наконец, среднее математическое отклонение (σ) случайной величины X можно найти как квадратный корень из дисперсии.
σ = √D = √0,317430625 ≈ 0,5638.
Таким образом, закон распределения случайной величины X будет:
P(X=0) = 0,035,
P(X=1) = 0,38,
P(X=2) = 0,585.
Математическое ожидание составляет 1,55, дисперсия составляет 0,317430625, а среднее математическое отклонение примерно равно 0,5638.