Question

8. Найти рациональные корни многочлена f(x)= x^4-5x^3+6x^2+4x-8 и в ответе записать сумму квадратов корней, сложенную с единицей. ответ: а) 2; б) 3; в) 1; г) 5; д) 6; е) 7.

Answer 1

Объяснение:

$f(x)=x^4-5x^3+6x^2+4x-8=x^2-2x^3-3x^3+6x^2+4x-8=\\=x^3*(x-2)-3x^2*(x-2)+4*(x-2)=(x-2)*(x^3-3x^2+4)=\\=(x-2)*(x^3+x^2-4x^2+4)=(x-2)*(x^2*(x+1)-4*(x^2-1))=\\=(x-2)*(x^2*(x+1)-4*(x+1)*(x-1))=\\=(x-2)*(x+1)*(x^2-4*(x-1))=(x-2)*(x+1)*(x^2-4x+4)=\\=(x-2)*(x+1)*(x-2)^2=(x-2)^3*(x+1).\\(x-2)^3*(x+1)=0\\(x-2)^3=0\\x-2=0\\x_{1,2,3}=2.\\x+1=0\\x_4=-1.\\x_1+x_2+x_3+x_4+1=2+2+2+(-1)+1=6-1+1=6.$

ответ: д) 6.

Answer 2

Объяснение:

Сначала найдем целые корни уравнения, они могут быть делителями свободного члена

Делителями свободного члена -8 являются ±1; ±2;±4±8

поочередно подставляя эти числа в уравнение получаем что корнями являются  -1 и 2

x⁴-5x³+6x²+4x-8=0

(-1)⁴-5(-1)³+6(-1)²+4(-1)-8=1+5+6-4-8=0

2⁴-5*2³+6*2²+4*2-8=16-40+24+8-8=0

Тогда исходное уравнение представимо в виде

(x+1)(x-2)(x²+px+q)=0

(x²-x-2)(x²+px+q)=0

разделим столбиком исходный многочлен на  (x²-x-2) см приложение

получим x²-4x+4

x²-4x+4=(x-2)²

x⁴-5x³+6x²+4x-8=0

(x²-x-2)(x-2)²=0

таким образом рациональные корни

x₁=-1 ; x₂=2; x₃=2; x₄=2

Поскольку сумма квадратов этих корней сложенная с единицей отсутствует в ответах , возможно что автор задачи имел ввиду сумму  квадратов корней, сложенную с единицей , без учета кратных корней.

Тогда считаем рациональными корнями -1 и 2

(-1)²+2²+1=1+4+1=6

ответ 6