7) 5cos^2 x + 3sin^2 x - 2cos 2x - 4sin 2x = 0 Довольно просто на самом деле. cos 2x = cos^2 x - sin^2 x; sin 2x = 2sin x*cos x 5cos^2 x + 3sin^2 x - 2cos^2 x + 2sin^2 x - 8sin x*cos x = 0 5sin^2 x - 8sin x*cos x + 3cos^2 x = 0 Делим все на cos^2 x, не равный 0 5tg^2 x - 8tg x + 3 = 0 Квадратное уравнение относительно тангенса (tg x - 1)(5tg x - 3) = 0 tg x = 1; x = pi/4 + pi*k tg x = 3/5; x = arctg(3/5) + pi*k ~ 31 градус + pi*k Промежутку [-pi/2; 2pi] принадлежат корни x1 = arctg(3/5), x2 = pi/4, x3 = arctg(3/5) + pi, x4 = 5pi/4
(log₂(-log₂x))²+log₂(log₂x)²<=3 => Разбираемся с ОДЗ: х>0, -log₂x>0 => log₂x<0 => (log₂x)²=(-log₂x)² => log₂(log₂x)²=2log₂(-log₂x) пусть y=log₂(-log₂x) => y²+2y-3<=0 y₁=-3, y₂=1 -корни. При y⊂[-3,1] y²+2y-3<=0 Значит -3 <= log₂(-log₂x)<=1 log₂(1/8)<=log₂(-log₂x)<=log₂2 т.к. 2>1 знаки нер-ва остаются такими же 1/8<=-log₂x<=2 1/8<=<=2 т.к. 1/2<1, то знаки нер-ва меняются на противоположные при этом х>0.
<=2
![\sqrt[8]{ \frac{1}{2} } \geq x \geq \frac{1}{4}](/tpl/images/0498/2895/8312a.png)
![\frac{1}{4} \leq x\leq \frac{1}{ \sqrt[8]{2} }](/tpl/images/0498/2895/f9f05.png)
Довольно просто на самом деле.
cos 2x = cos^2 x - sin^2 x; sin 2x = 2sin x*cos x
5cos^2 x + 3sin^2 x - 2cos^2 x + 2sin^2 x - 8sin x*cos x = 0
5sin^2 x - 8sin x*cos x + 3cos^2 x = 0
Делим все на cos^2 x, не равный 0
5tg^2 x - 8tg x + 3 = 0
Квадратное уравнение относительно тангенса
(tg x - 1)(5tg x - 3) = 0
tg x = 1; x = pi/4 + pi*k
tg x = 3/5; x = arctg(3/5) + pi*k ~ 31 градус + pi*k
Промежутку [-pi/2; 2pi] принадлежат корни
x1 = arctg(3/5), x2 = pi/4, x3 = arctg(3/5) + pi, x4 = 5pi/4
8) намного сложнее, особенно cos 5x смущает.