1) проверяем условие при наименьшем возможном значении n.
n>5, значит проверяем условие при n=6
Верно!
2) Сделаем предположение, что для всех n=k, k>5 верно неравенство:
3) Тогда при n=k+1 должно выполняться неравенство:
Вернемся к неравенству из второго пункта и домножим его на 2:
Подставим 2k² в 3-й пункт и рассмотрим полученное неравенство:
по методу интервалов определяем, что неравенство k²-2k-1>0 выполняется при k>1+√2, тогда при k>5 оно тоже выполняется (так как 5>1+√2)
Тогда обратным ходом получаем 2k²>k²+2k+1 при k>5 или 2k²>(k+1)² при k>5
Если 
, а 
, при k>5
То есть, 
, при k>5, то по закону транзитивности:
, при k>5 - ч.т.д
ctg 80*ctg 70 + ctg 70*ctg 30 + ctg 30*ctg 80 =
= ctg (90-10)*ctg (90-20) + ctg (90-20)*√3 + √3*ctg(90-10) =
= tg 10*tg 20 + √3*tg 20 + √3*tg 10 = (sin 10*sin 20) / (cos 10*cos 20) + √3*(tg 10 + tg 20) =
= (sin 10*sin 20) / (cos 10*cos 20) + √3*sin(10 + 20) / (cos 10*cos 20) =
= (sin 10*sin 20 + √3*sin 30) / (cos 10*cos 20) =
= [1/2*(cos 10 - cos 30) + √3/2] / [1/2*(cos 10 + cos 30] =
= (cos 10 - √3/2 + √3) / (cos 10 + √3/2) = (cos 10 + √3/2) / (cos 10 + √3/2) = 1
Объяснение: