На рисунке изображен график функции y = f(x) , определенной на интервале (-2;9) Найдите количество точек, в которых касательная к графику функции параллельна прямой y = 7 или совпадает с ней.
сколько корней имеет уравнение (cos2x-cosx)/sinx=0 на промежутке [-2π;2π ] ?
ОДЗ: sinx ≠ 0 . x ≠ π*n , n ∈ Z . --- cos2x - cosx = 0 ; 2cos²x -cosx -1 =0 ; замена : t = cosx 2t² - t -1 =0 ; D =1² -4*2( -1) = 1+8 =9 =3² t₁ =(1+3)/4 =1 ⇒ cosx =1 ⇔ sinx = 0 не удовлетворяет ОДЗ . t₂ =(1-3)/4 = -1/2 ⇒ cosx = -1/2 . x = ± 2π/3 +2π*k , k∈ Z .
x₁ = 2π/3 +2π*k , k∈ Z . Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] : - 4π/3 (если k = -1 ) и 2π/3 (если k =0 ) . * * * - 2π ≤ 2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ 1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 - 1/3 ≤ k ≤ 1 -1/3 ⇒ k = -1 ; 0 * * * x₂ = -2π/3 +2π*k , k∈ Z .Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] : - 2π/3 (если k = 0 ) и 4π/3 (если k =1 ) . * * * - 2π ≤ -2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ -1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 + 1/3 ≤ k ≤ 1 +1/3 ⇒ k = 0 ; 1 * * * ответ : 4 корней на промежутке [-2π;2π ] . * * * * * * * Другой решения : (cos2x-cosx) / sinx = 0 ⇔(системе) {cos2x - cosx = 0 ; sinx ≠ 0 . * * * требование sinx ≠ 0 определяет ОДЗ уравнения * * * * * * cosα - cosβ = - 2sin(α - β)/2*sin(α + β)/2 * * * cos2x - cosx = 0 ; -2sin(x/2)*sin(3x/2) =0. a) x/2 =π*k , k ∈ Z ; x =2π*k , k ∈ Z . b) 3x/2 =π*m , m ∈ Z --- x =2π*m/3 , m ∈ Z Серия решений x =2π*k входит в x =2π*m/3 , если m =3k ∈ Z , т.е. общее решение уравнения cos2x - cosx= 0 является x =2π*m/3, m ∈ Z . Из них нужно исключить m=3n x₁ =2π*(3n+1)/3 =2π/3 +2π*n , n ∈ Z . x₂ =2π*(3n -1)/3 = -2π/3 +2π*n , n ∈ Z .
Пусть P(А,В) = вероятность ровно А решек из В монет если решка имеет вероятность p, а нерешка (1-p) P(А,В) = p^A * (1-p)^(B-A)*С(A,B) - биномиальное распределение где С(A,B) = B! / (A!*(B-A)!) - число сочетаний из В по А в нашем случае p=1/2; 1-p=1/2 P(А,В) = p^A * (1-p)^(B-A)*С(A,B)=1/2^A*(1-1/2)^(B-A)*B!/(A!*(B-A)!) = 1/2^B * B! / (A!*(B-A)!)
искомая вероятность P = P(Y,X)+ P(Y+1,X)++ P(X,X) например при Х=6 У=2 P = P(2,6)+P(3,6)+P(4,6)+P(5,6)+P(6,6) или P = 1-P(0,6)-P(1,6) так как во второй записи меньше слагаемых P(0,6)=1/2^6 * 6! / (0!*(6-0)!) =1/2^6 P(1,6)=1/2^6 * 6! / (1!*(6-1)!) =1/2^6*6 P = 1-P(0,6)-P(1,6)= 1-1/2^6-1/2^6*6 - это ответ
не сложно рассчитать и P(2,6),P(3,6),P(4,6),P(5,6),P(6,6) например P(3,6)=(1/2)^6*(6*5*4)/(1*2*3)=(1/2)^6 * 20
[-2π;2π ] ?
ОДЗ: sinx ≠ 0 .
x ≠ π*n , n ∈ Z .
---
cos2x - cosx = 0 ;
2cos²x -cosx -1 =0 ; замена : t = cosx
2t² - t -1 =0 ; D =1² -4*2( -1) = 1+8 =9 =3²
t₁ =(1+3)/4 =1 ⇒ cosx =1 ⇔ sinx = 0 не удовлетворяет ОДЗ .
t₂ =(1-3)/4 = -1/2 ⇒ cosx = -1/2 .
x = ± 2π/3 +2π*k , k∈ Z .
x₁ = 2π/3 +2π*k , k∈ Z . Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] : - 4π/3 (если k = -1 ) и 2π/3 (если k =0 ) .
* * * - 2π ≤ 2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ 1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 - 1/3 ≤ k ≤ 1 -1/3 ⇒
k = -1 ; 0 * * *
x₂ = -2π/3 +2π*k , k∈ Z .Из них два решения на промежутке [-2π;2π ] :
- 2π/3 (если k = 0 ) и 4π/3 (если k =1 ) .
* * * - 2π ≤ -2π/3 +2π*k ≤ 2π ⇔ -1 ≤ -1/3 +k ≤ 1 ⇔ -1 + 1/3 ≤ k ≤ 1 +1/3 ⇒
k = 0 ; 1 * * *
ответ : 4 корней на промежутке [-2π;2π ] .
* * * * * * *
Другой решения :
(cos2x-cosx) / sinx = 0 ⇔(системе) {cos2x - cosx = 0 ; sinx ≠ 0 .
* * * требование sinx ≠ 0 определяет ОДЗ уравнения * * *
* * * cosα - cosβ = - 2sin(α - β)/2*sin(α + β)/2 * * *
cos2x - cosx = 0 ;
-2sin(x/2)*sin(3x/2) =0.
a) x/2 =π*k , k ∈ Z ;
x =2π*k , k ∈ Z .
b) 3x/2 =π*m , m ∈ Z
---
x =2π*m/3 , m ∈ Z
Серия решений x =2π*k входит в x =2π*m/3 , если m =3k ∈ Z , т.е.
общее решение уравнения cos2x - cosx= 0 является x =2π*m/3, m ∈ Z .
Из них нужно исключить m=3n
x₁ =2π*(3n+1)/3 =2π/3 +2π*n , n ∈ Z .
x₂ =2π*(3n -1)/3 = -2π/3 +2π*n , n ∈ Z .