Question

Написать формулу общего члена ряда: 1) $1+\frac{7}{9} +\frac{11}{27}+\frac{15}{81}+...$

2) $\frac{2}{5}+\frac{5}{7} +\frac{8}{9}+\frac{11}{11}+...$

Answer 1

$1)\ \ \displaystyle 1+\frac{7}{9}+\frac{11}{27}+\frac{15}{81}+\, ...=\frac{3}{3}+\frac{7}{9}+\frac{11}{27}+\frac{15}{81}+\, ...=\sum\limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{4n-1}{3^{n}}$

В числителях записаны члены арифметической прогрессии с $a_1=3\ ,\ d=4\ ,\ \ a_{n}=3+4(n-1)=4n-1$  .

В знаменателях записаны степени числа 3 .

$2)\ \ \displaystyle \frac{2}{5}+\frac{5}{7}+\frac{8}{9}+\frac{11}{11}+\, ...=\sum \limits _{n=1}^{\infty }\, \frac{3n-1}{2n+3}$

В числителях записаны члены арифметической прогрессии с $a_1=2\ ,\ d=3\ ,\ a_{n}=2+3(n-1)=3n-1$  .

В числителях записаны члены арифметической прогрессии с $a_1=5\ ,\ d=2\ ,\ \ a_{n}=5+2(n-1)=2n+3$  .