Question

Решите тригонометрические уравнение 4 sin^2x=3+2sinxcosx

Answer 1

$x_{1} = - \frac{\pi}{4} + \pi \: n \\ x_{2} = arctg3 + \pi \: n$

n€Z

Объяснение:

$4 {sin}^{2} x = 3 + 2sinx \times cosx \\ 4 {sin}^{2} x = 3 \times ( {sin}^{2} x + {cos}^{2} x) + 2sinx \times cosx \\ {sin}^{2} x - 3 {cos}^{2} x - 2sinx \times cosx = 0 | \div {cos}^{2} x \\ \frac{ {sin}^{2}x }{ {cos}^{2}x } - \frac{3 {cos}^{2}x }{ {cos}^{2}x} - \frac{2sinxcosx}{ {cos}^{2} x} = 0$

${tg}^{2} x - 2tgx - 3 = 0$

- тригонометрическое квадратное уравнение, замена переменной:

$tgx = t \\ {t}^{2} - 2t - 3 = 0 \\ t_{1} = - 1 \\ t_{2} = 3$

обратная замена:

$t_{1} = - 1 \\ tgx = - 1$

- простейшее тригонометрическое уравнение

$x = arctg( - 1) + \pi \: n$

n€Z, знак € читать "принадлежит"

$x = - arctg1 + \pi \: n \\ x = - \frac{\pi}{4} + \pi \: n$

$t_{2} = 3 \\ tgx = 3 \\ x = arctg3 + \pi \: n$