Question

при каких значениях параметра c неравенство log2 (x ^ 2 - (2c - 4) * x - 6c + 20) > 3 имеет решение при всех x∈R?

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$\log_2(x^2-(2c-4)x-6c+20)3\\x^2-(2c-4)x-6c+208$

Эта строчка хорошо показывает, что аргумент логарифма есть число положительное, что избавляет от исследования ОДЗ.

Идем дальше:

$x^2-(2c-4)x-6c+208\\x^2-(2c-4)x-6c+120$

Введем функцию $f(x)=x^2-(2c-4)x-6c+12$. Это парабола, ветви которой направлены вверх. Тогда неравенство будет верно при всех $x$, если дискриминант будет отрицательный.

Значит:

$\dfrac{D}{4}=(c-2)^2+6c-12=c^2+2c-8=(x+4)(x-2)$

Откуда получаем, что при $c\in(-4;\;2)$ исходное неравенство выполняется для любого $x\in\mathbb{R}$.

Задание выполнено!