Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями:
а) у=4-х^2, у=х+5, х=-1 и х=1;
6) у=х^3, у=8 и х=1;
в) у=х^2+1 и у=7-х.

Answer 1

Объяснение:строим график, выделяем фигуру, вычисляем интеграл

Answer 2

Объяснение:

a)

$y=4-x^2\ \ \ \ \ y=x+5\ \ \ \ x=-1\ \ \ \ x=1\ \ \ \ S=?\\S=\int\limits^1_{-1} {(x+5-(4-x^2))} \, dx=\int\limits^1_{-1} {(x+5-4+x^2)} \, dx=\int\limits^1_{-1} {(x^2+x+1)} \, dx =\\=(\frac{x^3}{3} +\frac{x^2}{2}+x)\ |_{-1}^1=\frac{1^3}{3} +\frac{1^2}{2}+1-(\frac{(-1)^3}{3}+\frac{(-1)^2}{2}-1)=\frac{1}{3} +\frac{1}{2} +1-(-\frac{1}{3} +\frac{1}{2}-1)=\\=\frac{1}{3} +\frac{1}{2}+1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+1=2\frac{2}{3} .$

ответ: S≈2,66667 кв. ед.

б)

$y=x^3\ \ \ \ y=8\ \ \ \ \ x=1\ \ \ \ \ S=?\\x^3=8\ \ \ \ x^3=2^3\ \ \ \ x=2\ \ \ \ \Rightarrow\\S=\int\limits^2_1 {(8-x^3)} \, dx=(8x-\frac{x^4}{4} )\ |_1^2=8*2-\frac{2^4}{4} -(8*1-\frac{1^4}{4} )=16-\frac{16}{4} -(8-\frac{1}{4})=\\=16-4-8+\frac{1}{4}=4\frac{1}{4} .$

ответ: S=4,25 кв. ед.

c)

$y=x^2+1\ \ \ \ \ y=7-x \ \ \ \ \ S=?\\x^2+1=7-x\\x^2+x-6=0\\D=25\ \ \ \ \sqrt{D}=5\\x_1=-3\ \ \ \ x_2=2.\ \ \ \ \ \Rightarrow\\S=\int\limits^2_{-3} {(7-x-x^2-1)} \, dx =\int\limits^2_{-3} {(6-x-x^2)} \, dx=(6x-\frac{x^2}{2}-\frac{x^3}{3})\ |_{-3}^2=\\=6*2-\frac{2^2}{2} -\frac{2^3}{3}-(6*(-3)-\frac{(-3)^2}{2}-\frac{(-3)^3}{3})=\\=12-2-\frac{8}{3} -(-18-\frac{9}{2}+9)=10-2\frac{2}{3}-(-9-4\frac{1}{2})=10-2\frac{2}{3}+13\frac{1}{2} } =\\$

$=23\frac{1}{2} -2\frac{2}{3} =\frac{47}{2} -\frac{8}{3} =\frac{47*3-8*2}{2*3} =\frac{141-16}{6} =\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}.$

ответ: S≈20,83333 кв. ед.