Question

Решите уравнение с параметром

Answer 1

$\left \{ \begin{array}{ccc} \bigg |x-\frac{a}{3} +\frac{2}{3} \bigg|=y \\ \\ | y-2a-2 |=x \end{array}\right$

Область определения:

Так как модули неотрицательны, то x ≥ 0 и y ≥ 0

Возможны 4 варианта:

1)

$\left \{ \begin{array}{cc} x-\frac{a}{3}+\frac{2}{3} =x+\frac{2-a}{3} < 0 \\ y-2a-2 < 0 \end{array}\right$

Тогда:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+\frac{2-a}{3} =-y \\ \\ y-2a-2 =-x \end{array}\right$

Переносим неизвестные налево, а числа с параметрами направо:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+y=\frac{a-2}{3} \\ \\ y+x=2a+2 \end{array}\right$

Слева части одинаковые. Если справа будут тоже одинаковые, то получится два одинаковых уравнения, то есть по сути одно.

Оно будет иметь бесконечно много решений, что нам и нужно.

(a - 2)/3 = 2a + 2

a - 2 = 6a + 6

5a = -8

a = -8/5 = -1,6

Подставляем в систему:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+y=\frac{a-2}{3}=\frac{-1,6-2}{3}=\frac{-3,6}{3} =-1,2 \\ \\ y+x=2a+2 = 2(-1,6)+2=-3,2+2=-1,2 \end{array}\right$

Из условия:

$\left \{ \begin{array}{cc} x$

Получаем:

$\left \{ \begin{array}{cc} x$

Но по области определений: x ≥ 0; y ≥ 0.

Получили противоречие, значит, в этом варианте решений нет.

2)

$\left \{ \begin{array}{cc} x-\frac{a}{3}+\frac{2}{3} =x+\frac{2-a}{3} < 0 \\ y-2a-2 \geq 0 \end{array}\right$

Тогда:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+\frac{2-a}{3} =-y \\ \\ y-2a-2 =x \end{array}\right$

Переносим неизвестные налево, а числа с параметрами направо:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+y=\frac{a-2}{3} \\ \\ y-x=2a+2 \end{array}\right$

Складываем уравнения и получаем:

2y = (a-2)/3 + 2a + 2 = (a-2+6a+6)/3 = (7a+4)/3

Эта система всегда будет иметь одно решение.

y = (7a+4)/6

x = y - 2a - 2 = (7a+4)/6 - 2a - 2 = (7a+4-12a-12)/6 = -(5a+8)/6

Этот вариант нам не подходит.

3)

$\left \{ \begin{array}{cc} x-\frac{a}{3}+\frac{2}{3} =x+\frac{2-a}{3} \geq 0 \\ y-2a-2 < 0 \end{array}\right$

Тогда:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+\frac{2-a}{3} =y \\ \\ y-2a-2 =-x \end{array}\right$

Переносим неизвестные налево, а числа с параметрами направо:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x-y=\frac{a-2}{3} \\ \\ y+x=2a+2 \end{array}\right$

Складываем уравнения и получаем:

2x = (a-2)/3 + 2a + 2 = (a-2+6a+6)/3 = (7a+4)/3

Эта система всегда будет иметь одно решение.

x = (7a+4)/6

y = 2a + 2 - x = 2a + 2 - (7a+4)/6 = (12a+12-7a-4)/6 = (5a+8)/6

Этот вариант нам не подходит.

4)

$\left \{ \begin{array}{cc} x-\frac{a}{3}+\frac{2}{3} =x+\frac{2-a}{3} \geq 0 \\ y-2a-2 \geq 0 \end{array}\right$

Тогда:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x+\frac{2-a}{3} =y \\ \\ y-2a-2 =x \end{array}\right$

Переносим неизвестные налево, а числа с параметрами направо:

$\left \{ \begin{array}{ccc} x-y=\frac{a-2}{3} \\ \\ y-x=2a+2 \end{array}\right$

Или по-другому:

$\left \{ \begin{array}{ccc} y-x=\frac{2-a}{3} \\ \\ y-x=2a+2 \end{array}\right$

Слева части одинаковые. Если справа будут тоже одинаковые, то получится два одинаковых уравнения, то есть по сути одно.

Оно будет иметь бесконечно много решений, что нам и нужно.

(2 - a)/3 = 2a + 2

2 - a = 6a + 6

7a = -4

a = -4/7

Подставляем в систему:

$\left \{ \begin{array}{ccc} y-x=\frac{2-a}{3}=\frac{2+4/7}{3}=\frac{18}{21} =\frac{6}{7} \\ \\ y-x=2a+2 = 2*(-\frac{4}{7} )+2=-\frac{8}{7} +2=\frac{6}{7} \end{array}\right$

Из условия:

$\left \{ \begin{array}{cc} x\geq \frac{a-2}{3} \\ y\geq 2a+2 \end{array}\right$

Получаем:

$\left \{ \begin{array}{cc} x\geq -\frac{6}{7} \\ y\geq \frac{6}{7} \end{array}\right$

Но по области определения: x ≥ 0

При a = -4/7 будет:

x ∈ [0; +oo); y = x + 6/7 - бесконечно много решений.