Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной линиями f(x) = 2cosx, y=0, x=0, x= 3$\pi$/2

Answer 1

Площадь криволинейной трапеции вычисляется по формуле   $\displaystyle S=\int\limits^a_b {f(x)} \, dx$

$y=2cosx\ ,\ \ y=0\ ,\ x=0\ ,\ x=\dfrac{3\pi }{2}$

По графику видно, что область от х=0 до х=3П/2 разбита на две области. Одна находится выше оси ОХ при изменении х от 0 до П/2 , а вторая находится ниже оси ОХ при х от П/2 до 3П/2 . Поэтому при вычислении определённого интеграла по второй области получим знак минус, а значит, чтобы площадь выражалась положительным числом, перед интегралом надо поставить знак минус .  

$\displaystyle S_1=\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}}\, 2\, cosx\, dx=2\cdot sinx\Big|_0^{\frac{\pi}{2}}=2\cdot (sin\dfrac{\pi}{2}-sin0)=2\cdot (1-0)=2S_2=-\int\limits_{\frac{\pi }{2}}^{\frac{3\pi }{2}}\, 2\, cosx\, dx=-2\cdot sinx\Big|_{\frac{\pi}{2}}^{\frac{3\pi}{2}}=-2\cdot (sin\dfrac{3\pi}{2}-sin\frac{\pi}{2})=-2\cdot (-1-1)=4S=S_1+S_2=2+4=6$