Найдите наименьшее и наибольшее значения функции y =-5(x+4)^2 : а) на отрезке [-5; - 3]; б) на луче [-4; +бесконечность); в) на интервале[-5;-3]; г) на луче (-бесконечность; 0].
Для решения данной задачи, мы должны пошагово применять математические операции и правила для определения наименьшего и наибольшего значений функции на заданных интервалах.
а) Начнем с интервала [-5; -3]:
1. Найдем значение функции в точке -5:
Подставляем x = -5 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-5+4)^2 = -5(-1)^2 = -5 * 1 = -5
2. Найдем значение функции в точке -3:
Подставляем x = -3 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-3+4)^2 = -5(1)^2 = -5 * 1 = -5
Заметим, что значения функции в обоих точках на этом интервале одинаковы и равны -5. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции на интервале [-5; -3] равны -5.
б) Перейдем к лучу [-4; +бесконечность):
1. Найдем значение функции в точке -4:
Подставляем x = -4 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-4+4)^2 = -5(0)^2 = -5 * 0 = 0
2. Рассмотрим поведение функции при увеличении x в положительном направлении (на луче +бесконечность):
Заметим, что функция y = -5(x+4)^2 является параболой с вершиной в точке (-4, 0) и направленной вниз. Так как коэффициент при x^2 (-5) отрицательный, парабола открывается вниз. Значит, значения функции на этом луче будут убывать и достигнут минимальное значение в бесконечности.
Таким образом, наименьшее значение функции на луче [-4; +бесконечность) равно 0, а наибольшего значения нет, так как оно будет достигаться в бесконечности.
в) Перейдем к интервалу [-5; -3]:
1. Найдем значение функции в точке -5:
Подставляем x = -5 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-5+4)^2 = -5(-1)^2 = -5 * 1 = -5
2. Найдем значение функции в точке -3:
Подставляем x = -3 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-3+4)^2 = -5(1)^2 = -5 * 1 = -5
Заметим, что значения функции в обоих точках на этом интервале одинаковы и равны -5. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции на интервале [-5; -3] равны -5.
Так как интервал [-5; -3] совпадает с интервалом из пункта а), ответ на вопрос для интервала [-5; -3] также равен -5.
г) Перейдем к лучу (-бесконечность; 0):
1. Рассмотрим поведение функции при увеличении x в отрицательном направлении (на луче -бесконечность):
Заметим, что функция y = -5(x+4)^2 является параболой с вершиной в точке (-4, 0) и направленной вниз. Так как коэффициент при x^2 (-5) отрицательный, парабола открывается вниз. Значит, значения функции на этом луче будут убывать и достигнут минимальное значение в бесконечности.
2. Найдем значение функции в точке 0:
Подставляем x = 0 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(0+4)^2 = -5(4)^2 = -5 * 16 = -80
Таким образом, наименьшее значение функции на луче (-бесконечность; 0) равно -бесконечность, а наибольшее значение функции равно -80.
Итак, ответы на вопрос для каждого интервала - это:
а) Начнем с интервала [-5; -3]:
1. Найдем значение функции в точке -5:
Подставляем x = -5 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-5+4)^2 = -5(-1)^2 = -5 * 1 = -5
2. Найдем значение функции в точке -3:
Подставляем x = -3 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-3+4)^2 = -5(1)^2 = -5 * 1 = -5
Заметим, что значения функции в обоих точках на этом интервале одинаковы и равны -5. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции на интервале [-5; -3] равны -5.
б) Перейдем к лучу [-4; +бесконечность):
1. Найдем значение функции в точке -4:
Подставляем x = -4 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-4+4)^2 = -5(0)^2 = -5 * 0 = 0
2. Рассмотрим поведение функции при увеличении x в положительном направлении (на луче +бесконечность):
Заметим, что функция y = -5(x+4)^2 является параболой с вершиной в точке (-4, 0) и направленной вниз. Так как коэффициент при x^2 (-5) отрицательный, парабола открывается вниз. Значит, значения функции на этом луче будут убывать и достигнут минимальное значение в бесконечности.
Таким образом, наименьшее значение функции на луче [-4; +бесконечность) равно 0, а наибольшего значения нет, так как оно будет достигаться в бесконечности.
в) Перейдем к интервалу [-5; -3]:
1. Найдем значение функции в точке -5:
Подставляем x = -5 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-5+4)^2 = -5(-1)^2 = -5 * 1 = -5
2. Найдем значение функции в точке -3:
Подставляем x = -3 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(-3+4)^2 = -5(1)^2 = -5 * 1 = -5
Заметим, что значения функции в обоих точках на этом интервале одинаковы и равны -5. Таким образом, наименьшее и наибольшее значения функции на интервале [-5; -3] равны -5.
Так как интервал [-5; -3] совпадает с интервалом из пункта а), ответ на вопрос для интервала [-5; -3] также равен -5.
г) Перейдем к лучу (-бесконечность; 0):
1. Рассмотрим поведение функции при увеличении x в отрицательном направлении (на луче -бесконечность):
Заметим, что функция y = -5(x+4)^2 является параболой с вершиной в точке (-4, 0) и направленной вниз. Так как коэффициент при x^2 (-5) отрицательный, парабола открывается вниз. Значит, значения функции на этом луче будут убывать и достигнут минимальное значение в бесконечности.
2. Найдем значение функции в точке 0:
Подставляем x = 0 в уравнение y = -5(x+4)^2:
y = -5(0+4)^2 = -5(4)^2 = -5 * 16 = -80
Таким образом, наименьшее значение функции на луче (-бесконечность; 0) равно -бесконечность, а наибольшее значение функции равно -80.
Итак, ответы на вопрос для каждого интервала - это:
а) Наименьшее значение: -5, наибольшее значение: -5
б) Наименьшее значение: 0, наибольшего значения нет
в) Наименьшее значение: -5, наибольшее значение: -5
г) Наименьшее значение: -бесконечность, наибольшее значение: -80