Question

(x+1)(x-2)^22 + (x+1)(1-2x)^11 = 0
произведение корней

Answer 1

$(x+1)(x-2)^{22} + (x+1)(1-2x)^{11} = 0$

$(x+1)\left((x-2)^{22} + (1-2x)^{11}\right) = 0$

Уравнение распадается на два. Рассмотрим первое уравнение:

$x+1=0$

$x_1=-1$

Рассмотрим второе уравнение:

$(x-2)^{22} + (1-2x)^{11} = 0$

$(x-2)^{22} =- (1-2x)^{11}$

$\left((x-2)^2\right)^{11} =(2x-1)^{11}$

Заметим, что в левой и правой части стоят 11 степени некоторых выражений. Так как функция $y=x^{11}$ монотонно возрастает на всей области определения, то для этой функции можно сделать вывод: значения функций равны когда равны значения аргументов. Запишем:

$(x-2)^2=2x-1$

Дорешаем это уравнение:

$x^2-4x+4-2x+1=0$

$x^2-6x+5=0$

В соответствии с теоремой Виета:

$\begin{cases} x_2+x_3=6 \\ x_2x_3=5 \end{cases}$

Нетрудно заметить, что этим условиям удовлетворяют числа 1 и 5, но нас больше интересует именно их произведение:

$x_2x_3=5$

Тогда, произведение всех корней:

$x_1x_2x_3=x_1\cdot x_2x_3=-1\cdot5=-5$

ответ: -5