Question

Розв‘яжіть систему рівняння:
x^2 - 3xy + 2y^2 = 3
x^2 + 4xy - 2y^2 = 1

Answer 1

(см. объяснение)

Объяснение:

$\left\{\begin{array}{c}x^2-3xy+2y^2=3\\ x^2+4xy-2y^2=1\end{array}\right;$

Умножаем вторую строку на 3:

$3x^2+12xy-6y^2=3$

Если правые части равны, то можно приравнять левые:

$x^2-3xy+2y^2=3x^2+12xy-6y^2\\ 2x^2+15xy-8y^2=0,\;|\div\;y^2\\ 2\times\left(\dfrac{x}{y}\right)^2+15\times\dfrac{x}{y}-8=0$

Меняем дробь $x/y=t$:

$2t^2+15t-8=0\\ (t+8)(2t-1)=0$

$\left[\begin{array}{c}t=-8\\t=\dfrac{1}{2}\end{array}\right;$

Обратная замена:

$x=-8y$      /или/      $y=2x$

Подставим это в 1-ую строку системы:

Случай 1:

$64y^2+24y^2+2y^2=3,\;\Rightarrow\;30y^2=1,\;y=\pm\dfrac{\sqrt{30}}{30}$

Тогда первые две пары точек будут такие:

$\left(\dfrac{4\sqrt{30}}{15};-\dfrac{\sqrt{30}}{30}\right),\;\left(-\dfrac{4\sqrt{30}}{15};\dfrac{\sqrt{30}}{30}\right)$

Случай 2:

$x^2-6x^2+8x^2=3,\;\Rightarrow\;x=\pm1$

Тогда следующие две пары точек будут такие:

$\left(-1;-2\right),\;\left(1;2\right)$

Система уравнений решена!