Для решения надо вспомнить два полезных наблюдения. I. Сумма иррационального и рационального чисел - иррациональное число. II. Произведение рационального числа, не равного нулю, на иррациональное число - иррациональное число. (Оба наблюдения доказываются от противного, в итоге придем к противоречию: в первом случае иррациональное слагаемое - разность двух рациональных чисел, во втором - иррациональный сомножитель представляется в виде частного рациональных чисел).
Решение. 1) a - 2b = (a + b) - 3b - иррационально как сумма рационального по условию числа a+b и иррационального по наблюдению II числа (-3)*b 2) a^2 - ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2ab - 2b^2 = a(a + b) - 2b(a + b) = (a + b)(a - 2b) - иррационально как произведение рационального ненулевого по условию числа a+b и иррационального по доказанному числу a-2b.
1)(a-1)x²-6x+1=0 a)a-1=0⇒a=1 -6x+1=0⇒-6x=-1⇒x=1/6б)a≠1 D=36-4(a-1)=36-4a+4=40-4a D<0⇒40-4a<0⇒4a>40⇒a>10решения нет D=0⇒a=10⇒x=6/9=2/3 D>0⇒a<10 2корня x1=(6-2√(10-a)/2(a-1)=(3-√(10-a)/(a-1) U x2=(3+√(10-a)/(a-1) ответ a=1 x=1/6 a>10 решения нет a=10 x=2/3 а∈(-∞;1) U (1;10) x1=(3-√(10-a)/(a-1) U x2=(3+√(10-a)/(a-1) 2)(a+1)x²-4x+1=0 a)a+1=0⇒a=-1 -4x+1=0⇒x=1/4 б)a≠-1 D=16-4(a+1)=16-4a-4=12-4a D<0⇒12-4a<0⇒4a>12⇒a>3 нет корней D=0⇒a=3 x=4/8=1/2 D>0⇒a<3 x1=(4-2√(3-a)/2(a+1)=(2-√(3-a)/(a+1) U x2=(2+√(3-a)/(a+1) ответ a=-1 x=1/4 a>3 корней нет a=3 x=1/2 a∈(-∞;-1) U (-1;3) x1=(2-√(3-a)/(a+1) U x2=(2+√(3-a)/(a+1) 3)3y-1=a -2a²-12a+14=0 a²+6a-7=0 a1+a2=-6 U a1*a2=-7 a1=-7⇒3y-1=-7⇒3y=-7+1=-6⇒y=-6:3=-2 a2=1⇒3y-1=1⇒3y=1+1=2⇒y=2/3 4)tga*ctga+9=1+9=10
I. Сумма иррационального и рационального чисел - иррациональное число.
II. Произведение рационального числа, не равного нулю, на иррациональное число - иррациональное число.
(Оба наблюдения доказываются от противного, в итоге придем к противоречию: в первом случае иррациональное слагаемое - разность двух рациональных чисел, во втором - иррациональный сомножитель представляется в виде частного рациональных чисел).
Решение.
1) a - 2b = (a + b) - 3b - иррационально как сумма рационального по условию числа a+b и иррационального по наблюдению II числа (-3)*b
2) a^2 - ab - 2b^2 = a^2 + ab - 2ab - 2b^2 = a(a + b) - 2b(a + b) = (a + b)(a - 2b) - иррационально как произведение рационального ненулевого по условию числа a+b и иррационального по доказанному числу a-2b.