sin²(2x) + cos²(x) = 1,
используем два тождества:
sin(2x) ≡ 2·sin(x)·cos(x)
1 = cos²(x) + sin²(x).
имеем
(2sin(x)cos(x))² + cos²(x) = cos²(x) + sin²(x),
4·sin²(x)·cos²(x) = sin²(x),
4sin²(x)cos²(x) - sin²(x) = 0,
sin²(x)·( 4·cos²(x) - 1 ) = 0,
1) sin²(x) = 0
или
2) 4cos²(x) - 1 = 0.
1) sin(x) = 0, ⇔ x = πm, m∈Z,
2) cos²(x) = 1/4,
используем тождество
cos(2x) ≡ cos²(x) - sin²(x) ≡ cos²(x) - (1 - cos²(x)) ≡ 2cos²(x) -1
cos²(x) ≡ (1 + cos(2x))/2,
тогда имеем
(1 + cos(2x))/2 = 1/4,
1 + cos(2x) = 1/2,
cos(2x) = (1/2) - 1 = -1/2,
2x = ±arccos(-1/2) + 2πn = ±(π - (π/3)) + 2πn = ±(2π/3) + 2πn, n∈Z,
x = ±(π/3) + πn.
ответ. x = πm, m∈Z или x = ±(π/3) + πn, n∈Z.
В решении.
Объяснение:
Решить систему уравнений:
{x² + y² = 40
{x + y = 8
Выразить у через х во втором уравнении, подставить выражение в первое уравнение и вычислить х:
у = 8 - х
х² + (8 - х)² = 40
Раскрыть скобки:
х² + 64 - 16х + х² = 40
2х² - 16х + 24 = 0
Разделить уравнение на 2 для упрощения:
х² - 8х + 12 = 0, квадратное уравнение, ищем корни:
D=b²-4ac = 64 - 48 = 16 √D=4
х₁=(-b-√D)/2a
х₁=(8-4)/2
х₁=4/2
х₁=2;
х₂=(-b+√D)/2a
х₂=(8+4)/2
х₂=12/2
х₂=6.
у = 8 - х
у₁ = 8 - х₁
у₁ = 6;
у₂ = 8 - х₂
у₂ = 2.
Решения системы уравнений (2; 6); (6; 2).
