Question

Дан квадратный трехчлен f(x)=x^{2}+bx+1. Известно, что касательные к графику f(x) проходящие через начало координат, пересекаются под углом arctg 1/3. Найдите b^2

Answer 1

Для начала, давайте разберемся, что такое "касательная к графику функции f(x) проходящая через начало координат".

Касательная к графику функции f(x) в точке (x_0, f(x_0)) - это прямая линия, которая касается графика функции только в данной точке и имеет одинаковую производную с функцией в этой точке.

Теперь мы знаем, что касательные к функции f(x) проходящие через начало координат, пересекаются под углом arctg 1/3. Давайте обозначим точку пересечения с абсциссой через A(x_1, 0), а точку пересечения с графиком функции f(x) через B(x_2, f(x_2)).

Для нахождения угла между этими двумя касательными, мы можем воспользоваться следующим соотношением:

tg(arctg 1/3) = tg(угол между A(x_1, 0) и B(x_2, f(x_2))) = |(f(x_2) - 0) / (x_2 - x_1) | = |f(x_2) / x_2 |

Но у нас есть дополнительная информация о функции f(x). Мы знаем, что она квадратный трехчлен и имеет вид f(x) = x^2 + bx + 1.

Тогда, подставив это выражение для f(x) в наше уравнение, мы получим:

|(x_2^2 + bx_2 + 1) / x_2 | = |(x_2^2 + bx_2 + 1) / x_2 | = |(x_2 + b + 1 / x_2)|

Если мы предположим, что x_2 не равно нулю, то мы можем сократить x_2 в числителе и знаменателе и упростить дальше:

|(x_2 + b + 1 / x_2)| = |(x_2 + 1 / x_2) + b |

Тем самым, мы нашли значение x_2 + 1 / x_2.

Теперь давайте обратимся к уравнению, описывающему функцию f(x):

f(x) = x^2 + bx + 1

Если касательная к этой функции проходит через начало координат, это означает, что f(0) = 0.

Подставив 0 вместо x в уравнение функции f(x), мы получим:

f(0) = 0^2 + b*0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Но мы знаем, что f(0) = 0, поэтому наше предположение о том, что x_2 не равно нулю, неверно.

Следовательно, x_2 должен быть равен нулю.

Теперь мы можем найти значение b, подставив x_2 = 0 в уравнение для функции f(x):

f(x) = x^2 + bx + 1
f(0) = 0^2 + b*0 + 1 = 0 + 0 + 1 = 1

Таким образом, мы получили, что b = 0.

И наконец, можем найти b^2:

b^2 = 0^2 = 0

Итак, ответ: b^2 = 0