Question

Про многочлен P(x) четвёртой степени известно, что для любого вещественного x выполнено P(x) >= 0, а также P(1) = 0, P(2) = 3, P(3) = 0 . Найдите P(4).

Answer 1

Нам потребуется следующая

Л е м м а: пусть функция $f: D\to \mathbb{R}$ дифференцируема на некотором открытом множестве $V\subseteq D$, причем $\forall x\in V:f(x)\geq 0$. Тогда $f(x_{0}) = 0 \Rightarrow f'(x_{0}) = 0$.

Д о к а з а т е л ь с т в о: в общем-то следует из необходимого условия локального экстремума: легко видеть, что точка $x_{0}$ является локальным минимумом.

Любой многочлен, конечно, является дифференцируемой функцией. Потому $P'(1) = P'(3) = 0$. Более того, поскольку $1,3$ -- корни многочлена, то $P(x) = a(x-1)(x-3)Q(x)$. Продифференцируем: $P'(x) = a\left[(x-3)Q(x)+(x-1)Q(x)+(x-3)(x-1)Q'(x)\right]$. В точке $1$ производная равна $P'(1) = 0 = -2aQ(1)\Rightarrow Q(1) = 0$, аналогично в точке $3$: $P'(3) = 0 = 2Q(3) \Rightarrow Q(3) = 0$. С другой стороны, $Q$ -- многочлен второй степени, а потому $Q(x) = b(x-1)(x-3) \Rightarrow P(x) = C(x-1)^2(x-3)^2$. Поскольку $P(2) =3$, то $C = 3$, следовательно, $P(4) = 3(4-1)^2(4-3)^2 = 27$.