4. Используя деление «уголком», запишите в каноническом виде частное при делении многочлена h(x)=x³+kx²+x+21 на двучлен (x+3) . Найдите все корни многочлена и разложите его на множители.
Хорошо, давайте разберем этот вопрос шаг за шагом.
Сначала давайте проведем деление «уголком».
1. Нарисуем делитель (x+3) и поделим его на делимое h(x)=x³+kx²+x+21:
___________________
(x+3) | x³ + kx² + x + 21
2. Разделим первое слагаемое (x³) на первое слагаемое делителя (x):
x²
3. Умножим результат (x²) на делитель и вычтем его из делимого:
___________________
(x+3) | x³ + kx² + x + 21
-(x³ + 3x²)
___________________
kx² - 2x + 21
4. Повторим этот процесс с новым делимым kx² - 2x + 21:
___________________
(x+3) | x³ + kx² + x + 21
-(x³ + 3x²)
___________________
kx² - 2x + 21
- (kx² + 3kx)
___________________
-3kx + 21
- (-3kx - 9)
5. Выполним последний шаг с остатком -3kx + 21:
___________________
(x+3) | x³ + kx² + x + 21
-(x³ + 3x²)
___________________
kx² - 2x + 21
- (kx² + 3kx)
___________________
-3kx + 21
- (-3kx - 9)
__________
30
Таким образом, частное при делении h(x) на (x+3) равно x² - 3k + 10, а остаток равен 30.
Теперь давайте найдем все корни многочлена h(x). Для этого будем искать значения x, при которых h(x) равно нулю.
Поскольку h(x) у нас кубический многочлен, у него есть три корня. Один из корней у нас уже есть, это -3 (корень двучлена (x+3)).
Для того чтобы найти остальные корни, нужно решить уравнение х² - 3кх + 10 = 0.
Для того, чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта: D = b² - 4ac.
Сравним наше уравнение со стандартной формой квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Здесь a = 1, b = -3k, и c = 10.
Теперь, вычислим дискриминант, подставив значения в формулу:
D = (-3k)² - 4(1)(10) = 9k² - 40.
Если D > 0, то у уравнения есть два различных корня. Если D = 0, то у уравнения есть один корень. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.
Поскольку нам нужно найти все корни многочлена, решим неравенство D > 0:
9k² - 40 > 0
9k² > 40
k² > 40/9
Для того чтобы узнать значение k, когда данное неравенство выполнено, найдем квадратный корень от обеих сторон:
k > √(40/9)
k > (2√10) / 3 (округленно)
Таким образом, чтобы найти все корни многочлена h(x), нужно взять любое значение k, которое больше (2√10) / 3 (например, k = 2).
Наконец, найдем разложение многочлена h(x) на множители.
Мы уже знаем, что одним из множителей является (x+3).
Давайте разделим частное при делении h(x) на (x+3) на x² - 3k + 10:
x² - 3k + 10 = (x - )(x + ).
Здесь у нас есть два множителя x - а (мы не знаем их значения), чтобы получить корень квадратного уравнения. Мы знаем, что x+3 является корнем кубического многочлена h(x), что означает, что (x+3) должен быть одним из этих множителей.
Теперь мы можем записать разложение многочлена h(x) на множители:
Сначала давайте проведем деление «уголком».
1. Нарисуем делитель (x+3) и поделим его на делимое h(x)=x³+kx²+x+21:
___________________
(x+3) | x³ + kx² + x + 21
2. Разделим первое слагаемое (x³) на первое слагаемое делителя (x):
x²
3. Умножим результат (x²) на делитель и вычтем его из делимого:
___________________
(x+3) | x³ + kx² + x + 21
-(x³ + 3x²)
___________________
kx² - 2x + 21
4. Повторим этот процесс с новым делимым kx² - 2x + 21:
___________________
(x+3) | x³ + kx² + x + 21
-(x³ + 3x²)
___________________
kx² - 2x + 21
- (kx² + 3kx)
___________________
-3kx + 21
- (-3kx - 9)
5. Выполним последний шаг с остатком -3kx + 21:
___________________
(x+3) | x³ + kx² + x + 21
-(x³ + 3x²)
___________________
kx² - 2x + 21
- (kx² + 3kx)
___________________
-3kx + 21
- (-3kx - 9)
__________
30
Таким образом, частное при делении h(x) на (x+3) равно x² - 3k + 10, а остаток равен 30.
Теперь давайте найдем все корни многочлена h(x). Для этого будем искать значения x, при которых h(x) равно нулю.
Поскольку h(x) у нас кубический многочлен, у него есть три корня. Один из корней у нас уже есть, это -3 (корень двучлена (x+3)).
Для того чтобы найти остальные корни, нужно решить уравнение х² - 3кх + 10 = 0.
Для того, чтобы решить это квадратное уравнение, воспользуемся формулой дискриминанта: D = b² - 4ac.
Сравним наше уравнение со стандартной формой квадратного уравнения ax² + bx + c = 0. Здесь a = 1, b = -3k, и c = 10.
Теперь, вычислим дискриминант, подставив значения в формулу:
D = (-3k)² - 4(1)(10) = 9k² - 40.
Если D > 0, то у уравнения есть два различных корня. Если D = 0, то у уравнения есть один корень. Если D < 0, то уравнение не имеет вещественных корней.
Поскольку нам нужно найти все корни многочлена, решим неравенство D > 0:
9k² - 40 > 0
9k² > 40
k² > 40/9
Для того чтобы узнать значение k, когда данное неравенство выполнено, найдем квадратный корень от обеих сторон:
k > √(40/9)
k > (2√10) / 3 (округленно)
Таким образом, чтобы найти все корни многочлена h(x), нужно взять любое значение k, которое больше (2√10) / 3 (например, k = 2).
Наконец, найдем разложение многочлена h(x) на множители.
Мы уже знаем, что одним из множителей является (x+3).
Давайте разделим частное при делении h(x) на (x+3) на x² - 3k + 10:
x² - 3k + 10 = (x - )(x + ).
Здесь у нас есть два множителя x - а (мы не знаем их значения), чтобы получить корень квадратного уравнения. Мы знаем, что x+3 является корнем кубического многочлена h(x), что означает, что (x+3) должен быть одним из этих множителей.
Теперь мы можем записать разложение многочлена h(x) на множители:
h(x) = (x + 3)(x - )(x + )