1. Не решая уравнение, покажите, что уравнение √x-√(-3-x)=1 не имеет решений. 2. Решите уравнение: √(x+2)=2+√(x+6) 3. Дано уравнение: 2√(x^2-7x+19)+x^2-7x+4=0 a. Используя метод замены переменной, приведите данное уравнение к виду: t^2+2t - 15 = 0. b. Покажите, что решением уравнения будут корни: x = 2;5. Решите неравенство: 2√(3-x)
1. Для того чтобы показать, что уравнение √x-√(-3-x)=1 не имеет решений, рассмотрим выражение под корнем -3-x.
Это выражение может быть отрицательным только при x < -3, так как в противном случае значение -3-x будет неотрицательным или равным нулю.
Однако, при всех значениях x < -3, √(-3-x) будет комплексным числом, так как корень из отрицательного числа – это комплексное число. Значит, при x < -3, √x-√(-3-x) также будет комплексным числом.
Таким образом, уравнение √x-√(-3-x)=1 не имеет решений.
2. Для решения уравнения √(x+2)=2+√(x+6) возведём обе части уравнения в квадрат:
(√(x+2))^2 = (2+√(x+6))^2
x+2 = 4 + 4√(x+6) + (x+6)
Упростим уравнение:
x+2 = x + 8 + 4√(x+6)
Перенесём переменные в левую часть уравнения:
4√(x+6) = 6
Возведём в квадрат обе части уравнения:
(4√(x+6))^2 = 6^2
16(x+6) = 36
Раскроем скобку:
16x + 96 = 36
Перенесём константу в правую часть уравнения:
16x = 36 - 96
16x = -60
Разделим обе части уравнения на 16:
x = -60/16
x = -15/4
Ответ: x = -15/4.
3. a. Для того чтобы привести уравнение 2√(x^2-7x+19)+x^2-7x+4=0 к виду t^2+2t - 15 = 0, проведём замену переменных:
Положим t = x^2-7x+4
Тогда выражение 2√(x^2-7x+19) можно переписать как 2√t.
Подставим новое выражение и продолжим преобразования:
2√t + t = 0
Упростим уравнение:
t + 2√t - 15 = 0
b. Покажите, что решением уравнения будут корни: x = 2, 5.
Для этого подставим значения x в исходное уравнение и проверим, выполняется ли оно:
При x = 2:
2√(2^2-7*2+19)+(2^2-7*2+4) = 2√(4-14+19)+(4-14+4) = 2√9+(-6+4) = 2√9-2 = 2*3-2 = 4-2 = 2
При x = 5:
2√(5^2-7*5+19)+(5^2-7*5+4) = 2√(25-35+19)+(25-35+4) = 2√9+(-10+4) = 2√9-6 = 2*3-6 = 6-6 = 0
Таким образом, значения x = 2 и x = 5 являются корнями уравнения.
4. Неравенство 2√(3-x) < 2 возможно упростить, поделив обе части на 2:
√(3-x) < 1
Теперь возводим обе части неравенства в квадрат:
√(3-x)^2 < 1^2
3-x < 1
Теперь переносим переменные в левую часть:
x-3 > -1
Прибавляем 3 к обеим частям неравенства:
x > 2
Ответ: x > 2.
