Question

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной заданными линиями 2) Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями

Answer 1

$1)\ \ y=x^2+4x\ \ ,\ \ y=x+4$

Найдём точки пересечения параболы и прямой.

$x^2+4x=x+4\ \ ,\ \ x^2+3x-4=0\ \ ,\ \ x_1=-4\ ,\ x_2=1\ \ (teorema\ Vieta)$

Площадь заданной области равна

$\displaystyle S=\int\limits^{a}_{b}\, \Big(f(x)-g(x)\Big)\, dx=\int\limits^1_{-4}\, \Big((x+4)-(x^2+4x)\Big)\, dx=\int\limits^1_{-4}(-x^2-3x+4)\, dx==\Big(-\frac{x^3}{3}-\frac{3x^2}{2}+4x\Big)\Big|_{-4}^1=-\frac{1}{3}-\frac{3}{2}+4-\Big(\frac{64}{3}-\frac{48}{2}-16\Big)=\frac{125}{6}=20\frac{5}{6}$

$2)\ \ y=x^2\ \ ,\ \ x=0\ \ ,\ \ y=3$

Объём тела, образованного вращением заданной фигуры

вокруг оси ОУ вычисляется по формуле  $\displaystyle V_{oy}=\pi \int\limits_{a}^{b}\, f^2(y)\, dy\ ,\ a\leq y\leq b$

Здесь функция зависит от переменной "у" . Поэтому из уравнения параболы выразим "х" через "у" . Роль функции теперь играет "х" , а роль переменной - "у" .

$y=x^2\ \ \Rightarrow \ \ x=\sqrt{y}$  - уравнение правой ветви параболы. (Можно было взять и левую ветвь параболы  $x=-\sqrt{y}$ , всё равно при возведении в квадрат минус уйдёт) .

Из чертежа видно, что "у" изменяется от 0 до 3 .

$\displaystyle V_{oy}=\pi \int\limits_0^3\, (\sqrt{y})^2\, dy=\pi \int\limits_0^3\, y\cdot dy=\pi \cdot \frac{y^2}{2}\, \Big|_0^3=\frac{\pi}{2}\cdot (3^2-0^2)=\frac{9\, \pi }{2}=4,5\, \pi$