Question

Решить уравнение
z^2-(6+i)z+10+6i=0

Answer 1

$z^2-(6+i)z+10+6i=0$

$D=(6+i)^2-4(10+6i)=$

$=36+12i+i^2-40-24i=i^2-12i-4=-5-12i$

Необходимо извлечь корень из числа $-5-12i$. Для этого обозначим искомое значение.

Пусть $(x+yi)^2=-5-12i$.

$x^2+2xyi+y^2i^2=-5-12i$

$x^2-y^2+2xyi=-5-12i$

Два комплексных числа равны когда равных их действительные и мнимые части:

$\begin{cases} x^2-y^2=-5\\ 2xy=-12 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим:

$y=-\dfrac{6}{x}$

После подстановки в первое уравнение получим:

$x^2-\left(-\dfrac{6}{x}\right)^2=-5$

$x^2-\dfrac{36}{x^2}=-5$

$x^4+5x^2-36=0$

Решаем биквадратное уравнение:

$D=5^2-4\cdot1\cdot(-36)=169$

$x^2\neq \dfrac{-5-\sqrt{169} }{2} =-9$

$x^2=\dfrac{-5+\sqrt{169} }{2} =4$

$\Rightarrow x_1=2\Rightarrow y_1=-\dfrac{6}{2} =-3$

$\Rightarrow x_2=-2\Rightarrow y_2=-\dfrac{6}{-2} =3$

Таким образом, искомый корень из дискриминанта исходного уравнения:

$x+yi=\pm(2-3i)$

Решения исходного уравнения:

$z=\dfrac{6+i\pm(2-3i)}{2}$

$z_1=\dfrac{6+i+2-3i}{2} =\dfrac{8-2i}{2} =4-i$

$z_2=\dfrac{6+i-2+3i}{2} =\dfrac{4+4i}{2} =2+2i$

ответ: 4-i; 2+2i