Т.к. многочлен x³+ax²+bx+c делится нацело и на двучлен х-1 и на двучлен х+2, то он делится нацело и на произведение
(x-1)(x+2)=x²+x-2.
Т.к. степень многочлена x³+ax²+bx+c равна 3, а степень трехчлена x²+x-2 равна 2, то частное от их деления есть двучлен вида х-k.
Т.е. (x²+x-2)(x-k) = x³+ax²+bx+c. Раскроем скобки в левой части:
x³+x²-2x-kx²-kx+2k = x³+ax²+bx+c
x³+(1-k)x²+(-2-k)x+2k = x³+ax²+bx+c
Используя метод неопределенных коэффициентов, получим соотношения для a, b и с:
a = 1-k, b = -2-k, с = 2k.
Т.к. при делении x³+ax²+bx+c на х+1 в остатке получается 10, то по свойству делимости многочленов значение многочлена x³+ax²+bx+c при х = -1 должно быть равно 10, т.е. (-1)³+a(-1)²+b(-1)+c = 10, отсюда a-b+c=11.
Решим систему уравнений: 
ответ: а = -3, b = -6, с = 8.
Так как наше число должно быть нечетным, оканчиваться оно должно на 1, 3 или 5. Пусть оно оканчивается на 1. Пусть четвертую позицию займет цифра 2, тогда третью позицию займет любое из оставшихся чисел с двумя вариантами перестановок на первой и второй позициях числа. Тогда всего чисел, оканчивающихся на 21 будет 6 штук. Но на месте двойки могут стоять 3, 4 или 5. Значит, чисел, оканчивающихся на 1 будет 6 * 4 = 24 штуки. А всего нечетных чисел (оканчивающихся на 1, 3 или 5): 24 * 3 = 72 (штуки).
ответ: 72