Для исследования функции y = e^(4x)(2-3x) на монотонность и экстремумы, мы должны проанализировать ее производные и определить значения x, в которых производные равны нулю или не определены.
Шаг 1: Найдем производную функции.
Используя правило произведения, производная функции y по x равна:
y' = [e^(4x)(2-3x)]' = (2-3x)e^(4x)' + e^(4x)(2-3x)'
Затем найдем производные каждого отдельного множителя:
(e^(4x))' = 4e^(4x) (применяем правило производной экспоненты)
(2-3x)' = -3 (применяем правило производной константы)
Подставим эти производные обратно в уравнение:
y' = (2-3x) * 4e^(4x) + e^(4x) * (-3)
Раскроем скобки и упростим выражение:
y' = 8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x)
Полученное выражение является производной функции y.
Шаг 2: Определение значений x, в которых производная равна нулю или не определена.
Чтобы найти значения x, в которых производная равна нулю, приравняем y' к нулю и решим уравнение:
8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x) = 0
Можно заметить, что в данном уравнении есть общий множитель e^(4x), поэтому мы можем вынести его за скобки:
e^(4x)(8 - 12x - 3) = 0
Теперь решим уравнение в скобках:
8 - 12x - 3 = 0
-12x + 5 = 0
-12x = -5
x = 5/12
Таким образом, у нас есть одна точка экстремума при x = 5/12.
Шаг 3: Исследование монотонности и экстремумов.
Для определения монотонности функции и других экстремумов, нам нужно проанализировать значение производных до, между и после значений x, найденных в предыдущем шаге.
Важно отметить, что y = e^(4x)(2-3x) является произведением двух положительных коэффициентов, поэтому ее знак будет зависеть от значения e^(4x).
Когда x < 5/12:
Возьмем любое x значение, которое меньше 5/12, например, x = 0. Подставим это значение в y', чтобы определить знак производной:
y' = 8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x)
y' = 8e^(4*0) - 12*0e^(4*0) - 3e^(4*0)
y' = 8 - 0 - 3 = 5
Таким образом, когда x < 5/12, производная положительна, а значит, функция y возрастает.
Когда x = 5/12:
Возьмем значение x = 5/12 и подставим его в y', чтобы определить знак производной:
Здесь мы должны использовать численные значения экспоненты.
Ввиду сложности вычислений, обозначим это значение как d1.
d1 ≈ 30.48
Таким образом, y' ≈ 30.48 - 30.48 - 3e^(20/12) = -3e^(20/12)
Так как e^(20/12) положительно, то -3e^(20/12) будет отрицательным значением.
Таким образом, когда x = 5/12, производная отрицательна и функция y убывает.
Когда x > 5/12:
Аналогично, вычислим производную в значении x > 5/12, например, x = 1:
y' = 8e^(4 * 1) - 12 * 1 * e^(4 * 1) - 3e^(4 * 1)
y' = 8e^4 - 12e^4 - 3e^4 = -7e^4
Таким образом, когда x > 5/12, производная отрицательна и функция y убывает.
Чтобы найти экстремумы функции, мы ищем точки перегиба или изменения монотонности. В данном случае, точка экстремума будет только одна при x = 5/12, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.
Итак, мы получаем, что функция y = e^(4x)(2-3x) монотонно возрастает на интервале x < 5/12 и монотонно убывает на интервале x > 5/12. Одна точка экстремума находится при x = 5/12.
Добрый день! Разберем каждое высказывание по очереди и определим, является ли оно истинным.
a) 15€N - данное высказывание означает, что число 15 принадлежит множеству натуральных чисел (N). Натуральными числами являются все положительные целые числа, начиная с 1. В данном случае число 15 положительное и целое, поэтому оно действительно принадлежит множеству натуральных чисел. Значит, высказывание a) является истинным.
b) √3€Z - данное высказывание говорит о том, что корень из числа 3 принадлежит множеству целых чисел (Z). Целыми числами считаются все положительные и отрицательные целые числа, а также нуль (0). Корень из числа 3 является иррациональным числом, то есть не может быть представлено в виде дроби и имеет бесконечное количество десятичных знаков. Оно не является целым числом, поэтому высказывание b) не является истинным.
c) 7/11€Q - данное высказывание утверждает, что число 7/11 принадлежит множеству рациональных чисел (Q). Рациональными числами считаются все числа, которые могут быть представлены в виде дроби, где числитель и знаменатель являются целыми числами. Число 7/11 именно такой дробью, поэтому оно действительно принадлежит множеству рациональных чисел. Значит, высказывание c) является истинным.
Итак, высказывание a) является истинным, высказывание b) не является истинным, и высказывание c) является истинным.
Шаг 1: Найдем производную функции.
Используя правило произведения, производная функции y по x равна:
y' = [e^(4x)(2-3x)]' = (2-3x)e^(4x)' + e^(4x)(2-3x)'
Затем найдем производные каждого отдельного множителя:
(e^(4x))' = 4e^(4x) (применяем правило производной экспоненты)
(2-3x)' = -3 (применяем правило производной константы)
Подставим эти производные обратно в уравнение:
y' = (2-3x) * 4e^(4x) + e^(4x) * (-3)
Раскроем скобки и упростим выражение:
y' = 8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x)
Полученное выражение является производной функции y.
Шаг 2: Определение значений x, в которых производная равна нулю или не определена.
Чтобы найти значения x, в которых производная равна нулю, приравняем y' к нулю и решим уравнение:
8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x) = 0
Можно заметить, что в данном уравнении есть общий множитель e^(4x), поэтому мы можем вынести его за скобки:
e^(4x)(8 - 12x - 3) = 0
Теперь решим уравнение в скобках:
8 - 12x - 3 = 0
-12x + 5 = 0
-12x = -5
x = 5/12
Таким образом, у нас есть одна точка экстремума при x = 5/12.
Шаг 3: Исследование монотонности и экстремумов.
Для определения монотонности функции и других экстремумов, нам нужно проанализировать значение производных до, между и после значений x, найденных в предыдущем шаге.
Важно отметить, что y = e^(4x)(2-3x) является произведением двух положительных коэффициентов, поэтому ее знак будет зависеть от значения e^(4x).
Когда x < 5/12:
Возьмем любое x значение, которое меньше 5/12, например, x = 0. Подставим это значение в y', чтобы определить знак производной:
y' = 8e^(4x) - 12xe^(4x) - 3e^(4x)
y' = 8e^(4*0) - 12*0e^(4*0) - 3e^(4*0)
y' = 8 - 0 - 3 = 5
Таким образом, когда x < 5/12, производная положительна, а значит, функция y возрастает.
Когда x = 5/12:
Возьмем значение x = 5/12 и подставим его в y', чтобы определить знак производной:
y' = 8e^(4 * 5/12) - 12 * 5/12 * e^(4 * 5/12) - 3e^(4 * 5/12)
y' = 8e^(20/12) - 12 * (5/12) * e^(20/12) - 3e^(20/12)
Здесь мы должны использовать численные значения экспоненты.
Ввиду сложности вычислений, обозначим это значение как d1.
d1 ≈ 30.48
Таким образом, y' ≈ 30.48 - 30.48 - 3e^(20/12) = -3e^(20/12)
Так как e^(20/12) положительно, то -3e^(20/12) будет отрицательным значением.
Таким образом, когда x = 5/12, производная отрицательна и функция y убывает.
Когда x > 5/12:
Аналогично, вычислим производную в значении x > 5/12, например, x = 1:
y' = 8e^(4 * 1) - 12 * 1 * e^(4 * 1) - 3e^(4 * 1)
y' = 8e^4 - 12e^4 - 3e^4 = -7e^4
Таким образом, когда x > 5/12, производная отрицательна и функция y убывает.
Чтобы найти экстремумы функции, мы ищем точки перегиба или изменения монотонности. В данном случае, точка экстремума будет только одна при x = 5/12, так как производная меняет знак с положительного на отрицательный.
Итак, мы получаем, что функция y = e^(4x)(2-3x) монотонно возрастает на интервале x < 5/12 и монотонно убывает на интервале x > 5/12. Одна точка экстремума находится при x = 5/12.