Question

1)x1,x2: x^2+ax+4=0 x3,x4: x^2+bx+16=0 x1,x2,x3,x4- прогрессия. a-? b-? 2) сумма бесконечной убывающей прогрессии равна 3/4 а сумма кубов его членов равна 27/208 найти сумму квадрат членов

Answer 1

$1)x^2+ax+4=0\\ x^2+bx+16=0$
по условию корни удовлетворяют такому условию 
$\frac{x_{4}}{x_{3}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}$
$1)\\ x_{1}+x_{2}=-a\\ x_{1}x_{2}=4\\ 2)\\ x_{3}+x_{4}=-b\\ x_{3}x_{4}=16\\$
последние равенство , в силу того что второй третий и четвертый можно выразить как 
$x_{1}^2*q=4\\ x_{1}^2*q^5=16\\ q^4=4\\ q=\sqrt{2} \\ x_{1}=\sqrt[4]{8}\\ x_{2}=\sqrt[4]{32}\\ x_{3}=\sqrt[4]{128}\\ x_{4}=\sqrt[4]{512}\\ \\ a=-( \sqrt[4]{8}+\sqrt[4]{32})\\ b=-(\sqrt[4]{128}+\sqrt[4]{512})$ 

$2)\\ \frac{b_{1}}{1-q} = \frac{3}{4}\\ b_{1}^3+b_{2}^3.....+b_{n}=\frac{27}{208}\\ \\ \frac{ b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ b_{1}^3(1+q^3+q^6+...q^{3n})=\frac{27}{208}\\ \\ \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ \frac{b_{1}^3}{1-q^3}=\frac{27}{208} \\\\ \frac{b_{1}^3}{(1-q)(q^2+q+1)} = \frac{27}{208}\\ \frac{b_{1}}{1-q}=\frac{3}{4}\\ \\ 4b_{1}=3-3q\\ b_{1}=\frac{3-3q}{4}\\ \frac{\frac{(3-3q)^3}{4^3}}{1-q^3}= \frac{27}{208}$

$\frac{\frac{(3-3q)^3}{4^3}}{1-q^3}= \frac{27}{208} \\ \frac{27(1-q)^3}{64(1-q^3)} = \frac{27}{208}\\ \frac{27(1-q)^3}{64(1-q)(1+q+q^2)}=\frac{27}{208}\\ \frac{27(1-q)^2}{64(1+q+q^2)}=\frac{27}{208}\\ 208*27(1-2q+q^2)=27*64(1+q+q^2)\\ 208-416q+208q^2=64+64q+64q^2\\ 3q^2 - 10q+3=0\\ D=8^2\\ q=3\\ q=\frac{1}{3}\\ b_{1}=0.5\\ b_{1}=-\frac{3}{2}\\ S^2=\frac{0.5^2}{1-\frac{1}{9}} = \frac{0.25}{\frac{8}{9}}=0.28125$