Алгебра: 1) | x + y - 5 | + x² - 6xy + 9y² = 0 2) 7 - x + | x | · x = 7 · | x |

1) | x + y - 5 | + x² - 6xy + 9y² = 0
2) 7 - x + | x | · x = 7 · | x |

👇

Увидеть ответ

Ответ:

пятимейкер

05.05.2021

| x + y - 5 | + x^2 - 6xy + 9y^2= 0

| x + y - 5 | + (x-3y)^2= 0

Заметим, что и модуль и квадрат любой величины дает только неотрицательные значения. Значит и их сумма тоже дает только неотрицательные значения. В нашем случае такая сумма равна нулю. Это возможно только тогда, когда оба слагаемых равны нулю.

Получим систему:

$\begin{cases} x + y - 5= 0 \\ (x-3y)^2= 0\end{cases}$

$\begin{cases} x + y - 5= 0 \\ x-3y= 0\end{cases}$

Из второго уравнения выразим "х":

x=3y

И подставим в первое уравнение:

3y+y-5=0

4y=5

$y=\dfrac{5}{4} =1.25$

$\Rightarrow x=3\cdot1.25=3.75$

ответ: (3.75; 1.25)

7 - x + x| x |= 7| x |

Перенесем все слагаемые в левую часть и разложим ее на множители:

7 - x + x| x |- 7| x |=0

-(x-7) + | x |(x- 7)=0

(x- 7)(| x |-1)=0

Уравнение сводится к совокупности:

$\left[\begin{array}{l} x-7=0 \\ |x|-1=0 \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=7 \\ |x|=1 \end{array}\right.\Rightarrow \left[\begin{array}{l} x=7 \\ x=\pm1 \end{array}\right.$

ответ: -1; 1; 7

4,4(81 оценок)

Открыть все ответы

Ответ:

Heh6

05.05.2021

Какой формулой пользоваться значения не имеет. На фотографиях представлены решения уравнения $\sin(t) = \alpha$ .

Если нарисовать числовую окружность, то значение $\sin(t) = \alpha$ есть координата точки по оси , ведь для любой точки числовой окружности справедливо, что $t(x; \: y), \: x = \cos(t), \: y = \sin(t)$ , т.е. точка $t \in \mathbb R$ имеет координаты $(\cos(t); \: \sin(t))$ .

Если провести прямую, параллельную оси через точку $\sin(t)$ , то она пересечётся с числовой окружностью в каких-то точках.

Чтобы было понятнее, советую нарисовать окружность радиусом R = 1 и центром в точке O(0;0) и отмечать всё, о чём я пишу.

Теперь рассмотрим эти точки пересечения.

Если , то пересечения будут в первой и второй четвертях.

Если , то пересечения будут в третьей и четвёртой четвертях.

Если $\sin(t) = 0$ , то пересечений тоже два и это и $\pi$ .

Если $\sin(t) = 1$ , то пересечение только одно, при чём точка пересечения будет и точкой касания, и равна она $\frac{\pi}{2}$ .

Если же $\sin(t) = -1$ , то пересечение тоже одно, тоже является точкой касания, но значение равно $-\frac{\pi}{2}$ .

А теперь вспомним определение арксинуса. Арксинусом числа $\alpha$ называют такой угол $t \in \lbrack 0; \: \frac{\pi}{2}\rbrack$ , что $\sin(t) = \alpha$ . Главное здесь то, что может быть углом только первой четверти.

Отсюда же следует, что $t=\arcsin(\alpha),\: t \in \lbrack 0; \: \frac{\pi}{2}\rbrack$ .

Это прекрасно работает для $\sin(t) = 1$ , ведь $\arcsin(1) = \frac{\pi}{2}$ .

Но только недавно мы проверили, что у нас может быть и не одно, а два решения. Как поступить в случае, если арксинус работает только для углов первой четверти, а нам нужно, чтобы он работал во второй? ответ прост. $\sin(t)$ - это число, а $\arcsin(\alpha)$ - угол.

Пусть прямая $y= \alpha$ пересекается с окружностью в точках в первой четверти и во второй четверти, а точку $\alpha$ на оси мы обзовём . Рассмотрим треугольники AOC и BOC , в них:

- отрезок, лежащий на оси

, а

- хорда, параллельная оси

, значит $OC \perp AB$ , по аксиоме о перпендикулярности прямых. Следовательно, треугольники AOC

- прямоугольные по определению.

- отрезок, лежащий на радиусе и $OC \perp AB$ , значит AO = OB

по свойству радиуса.

- общая сторона.

Треугольники AOC и BOC равны по двум катетам. Из этого следует и то, что их соответственные углы равны. Т.е. угол COA и угол BOC .

Но углы мы отсчитываем от точки $(0; \: 1)$ , обзовём её . Тогда угол $AOK = \frac{\pi}{2} - COA$ . А это угол первой четверти.

$BOK = 2COA + t\\2COA + 2t =\pi\\BOK + t = \pi\\BOK = \pi - t = \pi - arcsin(\alpha)$

А угол BOK - искомый угол второй четверти.

Как нам известно, все числа на числовой окружности получаются с поворота на определённый угол, пусть $\gamma$ - этот угол. И если мы сделаем полный оборот, то мы хоть и придём в ту же самую точку, но вот число уже будет другое, ведь поворачивались мы на другой угол, равный $\gamma + 2\pi$ . Таким образом, чтобы описать все числа, находящиеся в точке на окружности с координатами $(\cos(t);\: \sin(t))$ надо добавить $2\pi n$ , где - целое (чтобы получились полные обороты).

Вот так и получается первая формула.

Что до второй, то тут всё проще. Выводить её не буду, и так ответ уже километровый. В ней всё работает на чётности . Если - чётное, то формула трансформируется в $\arcsin(\alpha) + 2\pi \times p, \: 2p = n, \: p \in \mathbb{Z}$ , если нечётное, то в $-\arcsin(\alpha) + \pi \times (2p+1), \: (2p+1) = n, \: p \in \mathbb{Z}$ , ну а $-\arcsin(\alpha) + \pi \times (2p+1) = \pi - \arcsin(\alpha) + 2\pi \times p$ . Т.е. это тоже самое, только записанное в одну строчку. Использовать вторую формулу не советую. Она менее интуитивно понятная. Но если в ней разобраться, то решение уменьшается в размере, это правда.