Для начала, давайте разберёмся, что значит "исследовать функцию и построить её график".
Исследовать функцию означает найти её основные характеристики, такие как область определения, область значений, поведение функции при изменении аргумента, чётность/нечётность и др.
Построить график функции означает изобразить точки, которые соответствуют значениям функции для различных значений аргумента на координатной плоскости, чтобы наглядно представить, как функция меняется.
Итак, в нашем случае у нас функция y = -1/3x^3 + 4x.
1. Область определения функции:
Для этого нам нужно найти значения x, при которых функция определена.
Поскольку х - переменная, то она может принимать любые реальные значения. То есть, область определения функции - все действительные числа.
2. Область значений функции:
Чтобы найти значения y, необходимо подставить различные значения x в нашу функцию и вычислить y. Мы увидим, какие значения y могут быть получены.
Обратите внимание, что у нас есть две операции - возведение в куб и умножение на 1/3, а затем добавление и умножение на x.
Возведение в куб и умножение на 1/3 даже отрицательного числа сделает его положительным, поэтому все результаты будут положительными.
Если мы возьмём очень большое положительное значение x, то многочлен будет стремиться уходить в бесконечность положительную.
Аналогично если мы возьмём очень большое отрицательное число, то многочлен будет стремиться уходить в бесконечность отрицательную.
Итак, область значений функции - это все положительные и все отрицательные числа и ноль.
3. Поведение функции при изменении аргумента:
Для этого мы рассмотрим различные значения x и вычислим соответствующие значения y.
Например, если мы возьмём x=0, то значение функции будет y = 0.
Если мы возьмём x=1, то значение функции будет y = -1/3*1^3 + 4*1 = -1/3 + 4 = 3 2/3.
4. Чётность/нечётность функции:
Для нашей функции мы можем проверить, является ли она чётной или нечётной, сравнивая f(x) и f(-x).
Выполним эту проверку:
f(-x) = -1/3*(-x)^3 + 4*(-x) = -1/3*(-x)^3 - 4x = -f(x).
Поскольку f(x) = -f(-x), наша функция является нечётной.
5. Построение графика функции:
Теперь, когда у нас есть все характеристики функции, мы можем построить её график на координатной плоскости.
Для этого мы будем использовать значения x и y, которые мы получили при исследовании функции по шагу 3.
Мы возьмём несколько различных значений x, вычислим y и изобразим эти точки на плоскости.
Затем проведём линию через все эти точки, чтобы получить график функции.
Следующие точки мы будем использовать для построения графика:
x = -2, y = -1/3*(-2)^3 + 4*(-2) = -1/3*(-8) - 8 = 8/3 - 8.
x = -1, y = -1/3*(-1)^3 + 4*(-1) = -1/3 - 4 = -13/3.
x = 0, y = -1/3*(0)^3 + 4*(0) = 0.
x = 1, y = -1/3*(1)^3 + 4*(1) = -1/3 + 4 = 11/3.
x = 2, y = -1/3*(2)^3 + 4*(2) = -1/3*8 + 8 = -8/3 + 8.
Построим график:
На графике видно, что функция убывает, затем возрастает. У неё есть точка перегиба при x ≈ -1.2, после которой функция начинает убывать. Также, можно заметить, что график функции симметричен относительно вертикальной оси (ось y), что подтверждает её нечётность.
Исследовать функцию означает найти её основные характеристики, такие как область определения, область значений, поведение функции при изменении аргумента, чётность/нечётность и др.
Построить график функции означает изобразить точки, которые соответствуют значениям функции для различных значений аргумента на координатной плоскости, чтобы наглядно представить, как функция меняется.
Итак, в нашем случае у нас функция y = -1/3x^3 + 4x.
1. Область определения функции:
Для этого нам нужно найти значения x, при которых функция определена.
Поскольку х - переменная, то она может принимать любые реальные значения. То есть, область определения функции - все действительные числа.
2. Область значений функции:
Чтобы найти значения y, необходимо подставить различные значения x в нашу функцию и вычислить y. Мы увидим, какие значения y могут быть получены.
Обратите внимание, что у нас есть две операции - возведение в куб и умножение на 1/3, а затем добавление и умножение на x.
Возведение в куб и умножение на 1/3 даже отрицательного числа сделает его положительным, поэтому все результаты будут положительными.
Если мы возьмём очень большое положительное значение x, то многочлен будет стремиться уходить в бесконечность положительную.
Аналогично если мы возьмём очень большое отрицательное число, то многочлен будет стремиться уходить в бесконечность отрицательную.
Итак, область значений функции - это все положительные и все отрицательные числа и ноль.
3. Поведение функции при изменении аргумента:
Для этого мы рассмотрим различные значения x и вычислим соответствующие значения y.
Например, если мы возьмём x=0, то значение функции будет y = 0.
Если мы возьмём x=1, то значение функции будет y = -1/3*1^3 + 4*1 = -1/3 + 4 = 3 2/3.
4. Чётность/нечётность функции:
Для нашей функции мы можем проверить, является ли она чётной или нечётной, сравнивая f(x) и f(-x).
Выполним эту проверку:
f(-x) = -1/3*(-x)^3 + 4*(-x) = -1/3*(-x)^3 - 4x = -f(x).
Поскольку f(x) = -f(-x), наша функция является нечётной.
5. Построение графика функции:
Теперь, когда у нас есть все характеристики функции, мы можем построить её график на координатной плоскости.
Для этого мы будем использовать значения x и y, которые мы получили при исследовании функции по шагу 3.
Мы возьмём несколько различных значений x, вычислим y и изобразим эти точки на плоскости.
Затем проведём линию через все эти точки, чтобы получить график функции.
Следующие точки мы будем использовать для построения графика:
x = -2, y = -1/3*(-2)^3 + 4*(-2) = -1/3*(-8) - 8 = 8/3 - 8.
x = -1, y = -1/3*(-1)^3 + 4*(-1) = -1/3 - 4 = -13/3.
x = 0, y = -1/3*(0)^3 + 4*(0) = 0.
x = 1, y = -1/3*(1)^3 + 4*(1) = -1/3 + 4 = 11/3.
x = 2, y = -1/3*(2)^3 + 4*(2) = -1/3*8 + 8 = -8/3 + 8.
Построим график:
На графике видно, что функция убывает, затем возрастает. У неё есть точка перегиба при x ≈ -1.2, после которой функция начинает убывать. Также, можно заметить, что график функции симметричен относительно вертикальной оси (ось y), что подтверждает её нечётность.
Надеюсь, мой ответ был понятен и полезен для вас!