Question

Дана функция. необходимо исследовать её на возрастание(убывание) и экстремумы.

Answer 1

Функция

- убывает на $(-\infty; -0.2\,)\:$

- возрастает на $(-0.2;\,+\infty)\:$

Точка минимума функции:

x = -0.2

Объяснение:

Функция $\:f(x)= xe^{5x}\:$ определена на R, или $D(f)= (-\infty; \,+\infty)\:$

Для нахождения промежутков возрастания (убывание) и точек экстремума находим производную функции f'(x):

$f(x)= xe^{5x};\;\, \: \: \: f(x) = u\cdot{v}\\ \\ f'(x) =(u\cdot{v})'= u'v + uv' \\ f'(x) = (x)' {\cdot}{e^{5x}} + x{\cdot}({e^{5x}})' = \\ = 1{\cdot}{e^{5x}} + x{\cdot}5{ \cdot}{e^{5x}} = {e^{5x}}+ 5x{ \cdot}{e^{5x}} = \\ = (1 + 5x){ \cdot}{e^{5x}}$

Производная исследуемой функции $\:f'(x)\:$ также определена на R, или $D(f')= (-\infin; \,+\infin)\:$

Найдем критические точки

Т.к. производная исследуемой функции $\:f'(x)\:$ также определена на R, или $D(f')= (-\infty; \,+\infty)\:$, найдем нули производной :

$f'(x)=0\\ (1+5x)e^{5x}=0 \\$

что равносильно совокупности:

$\left[\begin{array}{l}1+5x=0\\e^{5x}=0 \end{array} \right.\;\:\left[\begin{array}{l}x{=}{-0.2}\\ {x} \in \, \cancel{o} \end{array} \right. \: \; x{=}{-0.2}$

Найдем промежутки возрастания / убывания:

Функция возрастает при f'(x) > 0

убывает при f'(x) < 0

Для этого исследуем точку x = -0,2 на экстремум: знак производной

- при х < -0.2 f'(x) < 0 => функция f(x)

убывает на $(-\infty; -0.2\,)\:$

- при х > -0.2 f'(x) < 0 => функция f(x)

возрастает на $(-0.2;\,+\infty)\:$

В точке x = -0.2 происходит смена функции

с убывания --> на возрастание

Следовательно, x = -0.2 - является единственной точкой экстремума, а именно это - точка минимума функции