1) у = √(8 - 0,5х²) Подкоренное выражение не должно быть отрицательным, поэтому 8 - 0,5х² ≥ 0 решаем уравнение 8 - 0,5х² = 0 х² = 16 х1 = -4; х2 = 4 График функции f(x) = 8 - 0.5x² - парабола веточками вниз, положительные значения её находятся в области х между -4 и 4. Таким образом, область определения заданной функции D(y) = [-4; 4]
2) Проверим функцию на чётность-нечётность f(-x) = (-x + 2sinx)/(3cosx + x²) f(-x) = -(x - 2sinx)/(3cosx + x²) Очевидно, что функция нечётная, потому что f(-x) = -f(x) Функция не является периодической, потому что в числителе есть добавка х, а в знаменателе х², которые не являются периодическими. Действительно, f(x + T) = ((-x + T) - 2 sin(x + T))/(3cos(x + T) + (x + T)²) = = ((-x + T) - 2 sinx)/(3cosx + (x + T)²) ≠ f(x) Условие периодичности не выполняется.
3) f(x) = x/2 - 4/x F(x) = 0 x/2 - 4/x = 0 ОДЗ: х≠0 х² - 8 = 0 х² = 8 х1 = -2√2; х2 = 2√2; Функция равна нулю при х =-2√2 и х = 2√2
yk=y(x₀)+y`(x₀)*(x-x₀)
y(-2)=0,5*(-2)²+2=0,5*4+2=2+2=4
y`(-2)=0,5*2*x=x=-2 ⇒
yk=4-2*(x-(-2)=4-2*(x+2)=4-2x-4=-2x
0,5x²+2=-2x
0,5x²+2x+2=0 |××2
x²+4x+4=0
(x+2)²=0
x+2=0
x=-2
S=₋₂∫⁰(0,5x²+2-(-2x))dx=₋₂∫⁰((1/2)x²+2+2x)dx=(x³/6+x²+2x) ₋₂|⁰=
=0-((-2)³/6+(-2)²+2*(-2))=-(-8/6+4-4)=-(-4/3)=4/3.
ответ: S≈1,333 кв. ед.
y=x³+2 x=0 x₀=1
y(1)=1³+2=1+2=3
y`(1)=3x²=3*1²=3 ⇒
yk=3+3*(x-1)=3+3x-3=3x
yk=3x
x³+2=3x
x³-3x+2=0
x³-x²+x²-3x+2=0
x²(x-1)+(x-1)(x-2)=0
(x-1)(x²+x-2)=0
x-1=0
x₁=1 ∉ по условию.
x²+x-2=0 D=9 √√D=3
x₂=-2 ∈ x₃=1 ∉∉ по условию. ⇒
S=₋₂∫⁰(x³+2-3x)=(x⁴/4-3x²/2+2x)₋₂|⁰=(0-((-2)⁴/4-3*(-2)²/2+2*(-2)=
=-(16/4-12/2-4)=-(4-6-4)=-(-6)=6.
ответ: S=6 кв. ед.