Question

Разделите число 120 на три положительных вычитания так, чтобы два из них были в отношении 2:3 и произведение трех вычитаний было наибольшим.

Answer 1

120 =32+48+ 40

Объяснение:

Надо представить число 120 в виде суммы трех слагаемых, так что два из них были в отношении 2: 3 , так чтобы произведение было наибольшим.

Пусть первое слагаемое 2х ( 2x>0;  x>0), второе слагаемое будет 3х, а третье слагаемое (120 -5х) ( 120-5x>0,то есть  x<24) . Тогда рассмотрим функцию произведения данных чисел

$f(x)= 2x\cdot3x\cdot(120-5x)=6x^{2} \cdot(120-5x)=720x^{2} -30x^{3}$

Так как функция непрерывна в точках х=0 и х=24, то найдем наибольшее значение полученной функции на отрезке [0; 24]

Для этого найдем производную данной функции

$f'(x)= (720x^{2} -30x^{3})'=1440x-90x^{2}$

Найдем критические точки, решив уравнение

$f'(x)=0;\\1440x-90x^{2}=0;\\x(1440-90x)=0\\x{_1}=0 \\1440-90x=0;\\90x=1440;\\x=1440:90;\\x=16\\ x{_2}= 16$

Полученные критические точки принадлежат заданному отрезку. Поэтому найдем значение функции на концах отрезка и в точке х=16

$f(0) = 720\cdot^{2} -30\cdot 0^{3} =0;\\f(16) = 6\cdot 16^{2} \cdot(120-5\cdot16)= 6\cdot256\cdot 40=61440;\\f(24)=6\cdot 24^{2} \cdot(120-5\cdot24)=6\cdot576\cdot0=0$

Наибольшее значение функции достигается при х=16. Тогда найдем все слагаемые

$2\cdot16=32-$ первое слагаемое

$3\cdot16=48 -$ второе слагаемое

$120-5\cdot16=120-80=40 -$ третье слагаемое.

Тогда

120 =32+48+ 40

#SPJ1